Entanglement spectrum of gapless topological phases: a case study with topological superconductors

Planteamiento del Problema
El entrelazamiento cuántico se ha convertido en una herramienta central para caracterizar las fases de la materia, particularmente a través del espectro de entrelazamiento (ES). Si bien la correspondencia entre el bajo espectro de energía del ES y los modos de borde topológicos está bien establecida para sistemas topológicos con brecha en el bulto (por ejemplo, estados de efecto Hall cuántico fraccionario y fases topológicas protegidas por simetría), su aplicabilidad a sistemas con un bulto sin brecha (gapless) sigue siendo una cuestión abierta. Los marcos teóricos que dependen del "aplanamiento espectral" (como el utilizado por Fidkowski para fermiones libres con brecha) son mal definidos en el límite termodinámico para sistemas sin brecha, lo que hace que no esté claro cómo extraer firmas topológicas del ES o del espectro de correlación (CS) del subsistema. Este artículo aborda el desafío de caracterizar la topología de estados no triviales en superconductores topológicos con bulto sin brecha utilizando el CS.

Metodología
Los autores utilizan modelos de fermiones libres exactamente solubles para calcular el espectro de correlación del subsistema (CS), definido como el espectro de la matriz de correlación de dos puntos del subsistema. Para fermiones libres, el CS contiene la misma información que el ES de muchos cuerpos. El estudio se centra en:

1. Cadenas de Majorana críticas en 1D: Reproducción de los resultados conocidos para la cadena $\alpha$ para analizar la escala de la división de la degeneración en el CS en puntos críticos en comparación con las fases con brecha.
2. Superconductores Topológicos (TSC) nodales en 2D: Investigación de TSCs nodales de tipo onda $d$ con un Hamiltoniano de Bogoliubov-de Gennes (BdG) de 4 por 4. Se examinan dos simetrías de apareamiento específicas:
   • Apareamiento $d_{x^2-y^2}$: Presenta modos de borde de Majorana quirales separados en el espacio de momentos de los puntos nodales del bulto.
   • Apareamiento $d_{xy}$: Presenta puntos nodales en el bulto que se fusionan con los modos de borde en el nivel de Fermi, resultando en una fase topológicamente no trivial sin modos de borde quirales protegidos.
3. Configuración Geométrica: Los cálculos se realizan en una geometría cilíndrica con condiciones de contorno periódicas a lo largo de la dirección $y$ y condiciones de contorno abiertas (o de corte virtual) a lo largo de la dirección $x$.
4. Métricas Complementarias: Los autores calculan el índice de traza (número promedio de partículas del subsistema) para cuantificar el flujo espectral y comparar los resultados entre los casos de bulto sin brecha y los casos de bulto con brecha artificial (logrados mediante la adición de términos que rompen la simetría $C_4$).

Resultados Clave

• Escalamiento Crítico en 1D: En cadenas 1D con bulto con brecha, la división de la degeneración del CS decae exponencialmente con el tamaño del subsistema, lo cual es consistente con el argumento del aplanamiento espectral. En contraste, para la cadena crítica (sin brecha), la división sigue una ley de potencia ($\sim 1/L_A^\alpha$). Esto proporciona evidencia numérica de que la matriz de correlación del subsistema en sistemas sin brecha es fundamentalmente distinta del Hamiltoniano físico del subsistema, haciendo que la prueba de aplanamiento espectral sea inaplicable.
• TSC $d_{x^2-y^2}$ en 2D: El CS exhibe un claro flujo espectral quiral cerca de $k_y=0$, correspondiente a los modos de borde de Majorana quirales. En el corte virtual, un modo se sitúa exactamente en el autovalor $\xi = 1/2$. El índice de traza muestra un salto de cuantización media ($1/2$) en $k_y=0$, confirmando la naturaleza de Majorana del modo de borde. Crucialmente, el CS también revela firmas de los nodos sin brecha del bulto cerca de $k_y \approx \pi/2$. Mientras que los modos del bulto de alta energía permanecen cerca de $\xi=0$ o $1$, los modos del bulto de baja energía cerca de los nodos se desvían de estos límites y se aproximan a $\xi=1/2$, contribuyendo significativamente a la entropía de entrelazamiento.
• TSC $d_{xy}$ en 2D: En este caso, los modos de borde se fusionan con los estados sin brecha del bulto en $k_y=0$. Consecuentemente, el CS no muestra un modo de $1/2$ robusto en $k_y=0$, ni el índice de traza exhibe un salto de cuantización media. Los autovalores dentro de la brecha muestran un comportamiento oscilatorio dependiente de la posición del corte, atribuido a la naturaleza oscilatoria de las correlaciones en líquidos sin brecha más que a los modos de borde topológicos.
• Brecha en el Bulto: Cuando se añaden términos de ruptura de $C_4$ para generar una brecha en los nodos del bulto, el CS en ambos casos de apareamiento muestra predominantemente la contribución de los bordes, con los modos del bulto desplazados limpiamente hacia $\xi=0$ o $1$, recuperando el comportamiento típico de los sistemas topológicos con brecha.

Significancia y Reivindicaciones
El artículo afirma generalizar la caracterización de Li-Haldane de los estados de borde topológicos vía el ES a sistemas topológicos en 2D con un bulto sin brecha. La contribución principal es demostrar que el CS distingue eficazmente entre los modos de borde topológicos y los modos del bulto sin brecha, incluso cuando ambos aparecen en el espectro de baja energía.

• El CS actúa como un "magnificador", separando las firmas robustas e independientes del corte de los modos de borde topológicos (por ejemplo, el modo de $1/2$ y el salto del índice de traza de cuantización media) de los comportamientos de los modos del bulto sin brecha que dependen del corte o presentan escalamiento de ley de potencia.
• El trabajo establece que, si bien el aplanamiento espectral falla en el límite termodinámico para sistemas sin brecha, el CS aún retiene la información suficiente para identificar la topología no trivial y la naturaleza de los estados de borde.
• Los autores señalan explícitamente que la relación entre el CS y los modos de borde físicos en presencia de interacciones sigue siendo una cuestión abierta, ya que el CS se define únicamente por las correlaciones de dos puntos, mientras que las interacciones pueden requerir correlaciones de puntos superiores para capturar completamente la información topológica.