Entanglement spectrum of gapless topological phases: a case study with topological superconductors

问题陈述
量子纠缠已成为表征物质相的核心工具，特别是通过纠缠谱（ES）。虽然对于体能隙拓扑系统（例如分数量子霍尔态和对称保护拓扑相），低能纠缠谱与拓扑边缘模之间的对应关系已得到充分验证，但其在**体能隙（gapless bulk）**系统中的适用性仍是一个开放性问题。在能隙开问题的拓扑相中，鲁棒的对称保护边缘模可以与能隙开的体谱共存。依赖于“谱平坦化”（如 Fidkowski 对能隙自由费米子所使用的理论）的理论框架在能隙开系统的热力学极限下是定义不清的，这使得如何从纠缠谱（ES）或子系统相关谱（CS）中提取拓扑特征变得不明朗。本文旨在利用子系统相关谱（CS）来解决表征非平凡能隙开拓扑超导体拓扑性质的挑战。

方法论
作者利用精确可解的自由费米子模型来计算子系统相关谱（CS），该谱被定义为子系统两点相关矩阵的谱。对于自由费米子，CS 包含与多体纠缠谱（ES）相同的信息。本研究重点关注：

1. 一维临界马约拉纳链： 重现已知的 $\alpha$-链结果，以分析临界点与能隙相相比，CS 中简并度分裂的标度行为。
2. 二维节点拓扑超导体（TSC）： 研究具有 4-by-4 Bogoliubov-de Gennes (BdG) 哈密顿量的 $d$ 波节点拓扑超导体。研究了两种特定的配对对称性：
   • $d_{x^2-y^2}$ 配对：其特征是手征马约拉纳边缘模在动量空间中与体能隙节点分离。
   • $d_{xy}$ 配对：其特征是体能隙节点在费米能级处与边缘模合并，从而形成一个不具备受保护手征边缘模的非平凡拓扑相。
3. 几何设置： 计算在沿 $y$ 方向具有周期性边界条件、沿 $x$ 方向具有开边界（或虚拟切割）条件的圆柱几何结构上进行。
4. 互补指标： 作者计算了迹指数（trace index）（平均子系统粒子数）以量化谱流，并将结果在能隙开的体情况与通过添加 $C_4$ 破缺项实现的人为能隙开体情况之间进行了比较。

主要结果

• 一维临界标度： 在体能隙的一维链中，CS 的简并度分裂随子系统尺寸呈指数级衰减，这与谱平坦化论据一致。相比之下，对于临界（能隙开）链，分裂遵循幂律（$\sim 1/L_A^\alpha$）。这提供了数值证据，证明在能隙开系统中，子系统相关矩阵与物理子系统哈密顿量有着本质区别，使得谱平坦化证明不再适用。
• 二维 $d_{x^2-y^2}$ TSC： CS 在 $k_y=0$ 附近表现出清晰的手征谱流，对应于手征马约拉纳边缘模。在虚拟切割处，一个模态恰好位于特征值 $\xi = 1/2$ 处。迹指数在 $k_y=0$ 处显示出半量子化跳变（$1/2$），证实了边缘模的马约拉性质。至关重要的是，CS 还揭示了靠近 $k_y \approx \pi/2$ 的体能隙节点的特征。虽然高能体模保持在 $\xi=0$ 或 $1$附近，但靠近节点的低能体模会偏离这些极限并趋向$\xi=1/2$，从而对纠缠熵做出显著贡献。
• 二维 $d_{xy}$ TSC： 在这种情况下，边缘模在 $k_y=0$ 处与体能隙态合并。因此，CS 在 $k_y=0$ 处并不显示鲁棒的 $1/2$ 模，迹指数也不表现出半量子化跳变。能隙内的特征值表现出取决于切割位置的振荡行为，这归因于能隙开液体中的相关性振荡性质，而非拓扑边缘模。
• 体能隙化： 当添加 $C_4$ 破缺项以使体能隙节点闭合时，两种配对情况下的 CS 主要显示出边缘贡献，体模被清晰地推向 $\xi=0$ 或 $1$，从而恢复了典型能隙拓扑系统的行为。

意义与主张
本文声称将通过 ES 进行 Li-Haldane 拓扑边缘态表征的方法推广到具有能隙开体的二维拓扑系统。其主要贡献在于证明了即使在两者同时出现在低能谱中时，CS 也能有效地区分拓扑边缘模与体能隙模。

• CS 起到了“放大镜”的作用，将鲁棒的、与切割无关的拓扑边缘模特征（例如 $1/2$ 模和半量子化迹指数跳变）与取决于切割或遵循幂律标度的体能隙模特征区分开来。
• 本工作确立了尽管谱平坦化在能隙开系统的热力学极限下失效，但 CS 仍保留了足以识别非平凡拓扑和边缘性质的信息。
• 作者明确指出，在存在相互作用的情况下，CS 与物理边缘模之间的关系仍是一个开放性问题，因为 CS 仅由两点相关性定义，而相互作用可能需要高阶相关性才能完全捕捉拓扑信息。