Entanglement spectrum of gapless topological phases: a case study with topological superconductors

문제 정의
양자 얽힘은 물질의 상(phase)을 규명하는 데 있어, 특히 얽힘 스펙트럼(ES)을 통해 중심적인 도구가 되어 왔습니다. 벌크가 갭을 가진 위상적 시스템(예: 분수 양자 홀 상태 및 대칭 보호 위상 상태)에 대해서는 저에너지 ES와 위상적 에지 모드 사이의 대응 관계가 잘 확립되어 있으나, 벌크가 갭리스(gapless)인 시스템에 대한 적용 가능성은 여전히 미해결 과제로 남아 있습니다. 갭리스 위상 상태에서는 견고한 대칭 보호 에지 모드가 갭리스 벌크 스펙트럼과 공존할 수 있습니다. "스펙트럼 평탄화(spectral flattening)"(Fidkowski가 자유 페르미온에 대해 사용한 방식)에 의존하는 이론적 틀은 갭리스 시스템의 열역학적 극한에서 정의하기 어려우며, 이로 인해 얽힘 스펙트럼(ES)이나 서브시스템 상관 스펙트럼(CS)으로부터 위상적 시그니처를 어떻게 추출할 것인지가 불분명합니다. 본 논문은 CS를 사용하여 갭리스 위상 초전도체의 비자명한(non-trivial) 기저 상태의 위상을 규명하는 문제를 다룹니다.

방법론
저자들은 서브시스템 상관 스펙트럼(CS)(서브시스템 이점 상관 행렬의 스펙트럼으로 정의됨)을 계산하기 위해 정확히 풀 수 있는 자유 페르미온 모델을 활용합니다. 자유 페르미온의 경우, CS는 다체(many-body) ES와 동일한 정보를 포함합니다. 연구는 다음 사항에 집중합니다:

1. 1D 임계 마요라나 사슬(Critical Majorana Chains): $\alpha$-사슬을 재현하여 임계점에서 CS의 축퇴 갈라짐(degeneracy splitting)이 갭이 있는 상과 비교하여 어떻게 스케일링되는지 분석합니다.
2. 2D 노달 위상 초전도체(Nodal TSCs): 4x4 Bogoliubov-de Gennes (BdG) 해밀토니안을 갖는 $d$-파 노달 TSC를 조사합니다. 두 가지 특정 페어링 대칭성이 검토됩니다:
   • $d_{x^2-y^2}$ 페어링: 운동량 공간에서 벌크 노달 포인트(nodal points)로부터 분리된 키랄 마요라나 에지 모드를 특징으로 합니다.
   • $d_{xy}$ 페어링: 벌크 노달 포인트가 페르미 준위에서 에지 모드와 병합되어, 보호된 키랄 에지 모드가 없는 위상적으로 비자명한 상을 형성합니다.
3. 기하학적 설정: 계산은 $y$ 방향으로는 주기적 경계 조건을, $x$ 방향으로는 개방형(또는 가상 절단) 경계 조건을 갖는 원통형 기하 구조에서 수행됩니다.
4. 보완적 지표: 스펙트럼 흐름(spectral flow)을 정량화하기 위해 트레이스 인덱스(평균 서브시스템 입자 수)를 계산하며, 이를 갭을 생성하기 위해 $C_4$ 대칭성을 깨뜨리는 항을 추가한 경우(인위적으로 갭을 만든 벌크 케이스)와 비교합니다.

주요 결과

• 1D 임계 스케일링: 벌크 갭이 있는 1D 사슬에서 CS의 축퇴 갈라짐은 서브시스템 크기에 따라 지수적으로 감소하며, 이는 스펙트럼 평탄화 논증과 일치합니다. 반면, 임계(갭리스) 사슬의 경우, 갈라짐은 멱법칙(power law, $\sim 1/L_A^\alpha$)을 따릅니다. 이는 갭리스 시스템에서 서브시스템 상관 행렬이 물리적 서브시스템 해밀토니안과 근본적으로 다르며, 따라서 스펙트럼 평탄화 증명이 적용 불가능함을 보여주는 수치적 증거를 제공합니다.
• 2D $d_{x^2-y^2}$ TSC: CS는 $k_y=0$ 근처에서 명확한 키랄 스펙트럼 흐름을 보이며, 이는 키랄 마요라나 에지 모드에 대응합니다. 가상 절단(virtual cut)에서 하나의 모드는 고윳값 $\xi = 1/2$에 위치합니다. 트레이스 인덱스는 $k_y=0$에서 반-정수화된 점프(half-quantized jump, $1/2$)를 보여, 마요라나 에지 모드의 성질을 확인해 줍니다. 결정적으로, CS는 $k_y \approx \pi/2$ 근처의 벌크 갭리스 노드 시그니처 또한 드러냅니다. 고에너지 벌크 모드는 $\xi=0$ 또는 $1$근처에 머무는 반면, 노드 근처의 저에너지 벌크 모드는 이 한계값들에서 벗어나$\xi=1/2$로 접근하며 얽힘 엔트로피에 크게 기여합니다.
• 2D $d_{xy}$ TSC: 이 경우, 에지 모드가 $k_y=0$에서 벌크 갭리스 상태와 병합됩니다. 결과적으로, CS는 $k_y=0$에서 견고한 $1/2$-모드를 보여주지 않으며, 트레이스 인덱스 또한 반-정수화된 점프를 나타내지 않습니다. 갭 내부의 고윳값들은 절단 위치에 의존하는 진동 거동을 보이는데, 이는 위상적 에지 모드가 아닌 갭리스 액체의 상관관계가 갖는 진동 특성에 기인합니다.
• 벌크 갭 생성: 벌크 노드를 갭으로 만들기 위해 $C_4$ 대칭성을 깨뜨리는 항을 추가하면, 두 페어링 케이스 모두에서 CS는 주로 에지 기여만을 보여주며, 벌크 모드는 $\xi=0$ 또는 $1$로 깔끔하게 밀려나 전형적인 갭이 있는 위상 시스템의 거동을 회복합니다.

의의 및 주장
본 논문은 Li-Haldane의 위상적 에지 상태(ES를 통한) 특성화를 벌크가 갭리스인 2D 위상 시스템으로 일반화한다고 주장합니다. 주요 기여는 CS가 저에너지 스펙트럼에 둘 다 나타날 수 있는 상황에서도 위상적 에지 모드와 벌크 갭리스 모드를 효과적으로 구별할 수 있음을 입증한 것입니다.

• CS는 견고하고 절단에 독립적인 위상적 에지 모드의 시그니처(예: $1/2$ 모드 및 반-정수화된 트레이스 인덱스 점프)를 절단에 의존하거나 멱법칙 스케일링을 보이는 벌크 갭리스 모드로부터 분리하는 "확대경" 역할을 합니다.
• 본 연구는 스펙트럼 평탄화가 갭리스 시스템의 열역학적 극한에서 실패하더라도, CS가 여전히 비자명한 위상과 에지 상태의 본질을 식별할 수 있는 충분한 정보를 보유하고 있음을 확립합니다.
• 저자들은 상호작용이 존재하는 경우 CS와 물리적 에지 모드 사이의 관계는 여전히 미해결 과제라고 명시적으로 언급합니다. 이는 CS가 오직 이점 상관관계(two-point correlations)에 의해서만 정의되는 반면, 상호작용은 위상적 정보를 완전히 포착하기 위해 고차 상관관계(higher-point correlations)를 필요로 할 수 있기 때문입니다.