Entanglement spectrum of gapless topological phases: a case study with topological superconductors

問題の所在
量子もつれは、物質の相を特徴付けるための中心的なツールとなっており、特にエンタングルメント・スペクトル（ES）を通じて用いられている。バルクにギャップを持つトポロジカル系（例：分数量子ホール状態や対称保護トポロジカル相）における低エネルギーESとトポロジカルなエッジモードの対応関係は確立されているが、そのバルクがギャップレスである系への適用可能性は未解決の課題である。ギャップレスなトポロカルな相では、堅牢な対称保護エッジモードがギャップレスなバルク・スペクトルと共存し得る。Fidkowskiによる自由フェルミオンを用いた「スペクトラル・フラットニング（スペクトルの平坦化）」に基づく理論的枠組みは、ギャップレス系においては熱力学的極限において定義不能であり、ESやサブシステム相関スペクトル（CS）からどのようにトポロジカルなシグネチャーを抽出するかは不明確である。本論文は、CSを用いて、ギャップレスなトポロジカル超伝導体における非自明な基底状態を特徴付けるという課題に取り組むものである。

手法
著者らは、自由フェルミオン模型を用いて、サブシステム二点相関行列のスペクトルとして定義される**サブシステム相関スペクトル（CS）**を計算している。自由フェルミオンの場合、CSは多体ESと同じ情報を含んでいる。本研究では以下に焦点を当てる：

1. 1次元臨界マヨラナ鎖： $\alpha$-鎖の結果を再現し、臨界点におけるCSの縮退分裂のスケールが、ギャップを持つ相と比較してどのように振る舞うかを分析する。
2. 2次元ノダル・トポロジカル超伝導体（TSC）： 4×4のBogoliubov-de Gennes (BdG) ハミルトニアンを持つ$d$波ノダルTSCを調査する。以下の2つの特定のペアリング対称性を検討する：
   • $d_{x^2-y^2}$ ペアリング：運動量空間においてバルクのノダル点から離れた位置に、カイラル・マヨラ・エッジモードが存在する。
   • $d_{xy}$ ペアリング：バルクのノダル点がフェルミ準位においてエッジモードと合体する特徴を持ち、保護されたカイラル・エッジモードを持たないトポロジカルに非自明な相をもたらす。
3. 幾何学的セットアップ： 計算は、$y$方向に周期境界条件を、$x$方向に開（または仮想的なカット）境界条件を持つ円筒状の幾何学構造上で行われる。
4. 補完的な指標： スペクトルフローを定量化するためにトレース指数（平均サブシステム粒子数）を計算し、ギャップレス・バルクの場合と、人工的にバルクをギャップ化させた場合（$C_4$対称性を破る項を添加することで実現）の結果との比較を行う。

主な結果

• 1次元臨界スケーリング： バルクにギャップを持つ1次元鎖では、CSの縮退分裂はサブシステムサイズに対して指数関数的に減衰し、これはスペクトラル・フラットニングの議論と一致する。対照的に、臨界（ギャップレス）鎖では、分裂はべき乗則（$\sim 1/L_A^\alpha$）に従う。これは、ギャップレス系におけるサブシステム相関行列が物理的なサブシステム・ハミルトニアンとは根本的に異なることを示す数値的証拠であり、スペクトラル・フラットニングの証明が適用できないことを示唆している。
• 2_次元 $d_{x^2-y^2}$ TSC： CSは$k_y=0$付近で明確なカイラル・スペクトルフローを示し、これはカイラル・マヨラ・エッジモードに対応している。仮想的なカットにおいて、あるモードは固有値 $\xi = 1/2$ に正確に位置する。トレース指数は$k_y=0$において半量子化されたジャンプ（$1/2$）を示し、マヨラ・エッジモードの性質を裏付けている。決定的なことに、CSはまた、$k_y \approx \pi/2$付近のバルク・ギャップレス・ノードのシグネチャーも明らかにする。高エネルギーのバルクモードは$\xi=0$または$1$付近に留まる一方で、ノード付近の低エネルギー・バルクモードはこれらの極限から逸脱して$\xi=1/2$に接近し、エンタングルメント・エントロピーに大きく寄与している。
• 2次元 $d_{xy}$ TSC： この場合、エッジモードは$k_y=0$においてバルクのギャップレス状態と合体する。その結果、CSは$k_y=0$において堅牢な$1/2$モードを示さず、トレース指数も半量子化されたジャンプを示さない。ギャップ内の固有値はカットの位置に依存する振動挙動を示しており、これはトポロジカルなエッジモードではなく、ギャップレス液体における相関の振動性に起因するものである。
• バルクのギャップ化： バルクのノードをギャップアウトさせるために$C_4$対称性を破る項を加えると、両方のペアリングケースにおいて、CSは主にエッジの寄与を表示し、バルクモードは$\xi=0$または$1$へと明確に押しやられ、典型的なギャップを持つトポロジカル系の挙動を回復する。

意義と主張
本論文は、ESを介したトポロジカル・エッジ状態のLi-Haldaneによる特徴付けを、バルクがギャップレスな2次元トポロジカル系へと一般化することを主張している。主要な貢献は、CSが、低エネルギー・スペクトルの中に両者が現れる場合であっても、トポロジカルなエッジモードとバルクのギャップレス・モードを効果的に区別できることを示した点にある。

• CSは「拡大鏡」として機能し、トポロジカルなエッジモードの堅牢でカットに依存しないシグネチャー（例：$1/2$モードおよび半量子化されたトレース指数のジャンプ）を、カットに依存する、あるいはべき乗則のスケーリングを示すバルクのギャップレス・モードから分離する。
• 本研究は、ギャップレス系においてはスペクトラル・フラットニングが熱力学的極限において失敗する一方で、CSは依然として非自明なトポロジーとエッジ状態の性質を特定するために十分な情報を保持していることを確立している。
• 著者らは、相互作用が存在する場合におけるCSと物理的なエッジモードとの関係は、CSが二点相関のみによって定義されるのに対し、相互作用はトポロジカルな情報を完全に捉えるために高次の相関を必要とする可能性があるため、依然として未解決の問いであると明記している。