Bifurcation and multiplicity results for critical Grushin-Choquard problems

Sintesi Tecnica: Risultati di Biforcazione e Moltiplicità per Problemi Critici Grushin-Choquard

Enunciato del Problema
Il lavoro esamina un problema critico di tipo Choquard non locale di Brézis-Nirenberg che coinvolge l'operatore di Grushin $\Delta_\gamma$. La specifica equazione in esame è:
$$\begin{cases} -\Delta_\gamma u = \lambda u + \left( \int_{\Omega} \frac{|u(w)|^{2^*_{\gamma,\mu}}}{d(z-w)^\mu} dw \right) |u|^{2^*_{\gamma,\mu}-2}u & \text{in } \Omega, \\ u = 0 & \text{su } \partial\Omega, \end{cases}$$
dove $\Omega \subset \mathbb{R}^N$ ($N \ge 3$) è un dominio aperto limitato che interseca il sottospazio $\{x=0\}$, $\lambda > 0$ è un parametro, e $\Delta_\gamma$ è l'operatore di Grushin definito da $\Delta_\gamma u = \Delta_x u + (1+\gamma)^2 |x|^{2\gamma} \Delta_y u$ per $\gamma \ge 0$. Il termine $d(\cdot)$ denota la norma omogenea associata all'operatore di Grushin, e $2^*_{\gamma,\mu} = \frac{2N_\gamma - \mu}{N_\gamma - 2}$ rappresenta l'esponente critico nel contesto Hardy-Littlewood-Sobolev di Grushin, con $N_\gamma = m + (1+\gamma)n$ che indica la dimensione omogenea.

L'obiettivo primario è stabilire l'esistenza di una biforcazione da qualsiasi autovalore $\lambda^*$ dell'operatore $-\Delta_\gamma$ sotto condizioni al contorno di Dirichlet e dimostrare risultati di moltiplicità per soluzioni non banali in un opportuno intorno sinistro di $\lambda^*$.

Metodologia e Quadro Variazionale
Gli autori adottano un approccio variazionale, definendo il funzionale energetico $J_\gamma: H_\gamma(\Omega) \to \mathbb{R}$ associato al problema. Lo spazio $H_\gamma(\Omega)$ è il completamento di $C^\infty_c(\Omega)$ rispetto alla norma del gradiente di Grushin.

Le tappe metodologiche chiave includono:

1. Stabilizzazione della Disuguaglianza di Hardy-Littlewood-Sobolev (HLS): Una parte significativa del lavoro è dedicata alla dimostrazione di una versione della disuguaglianza HLS adattata all'impostazione di Grushin. Gli autori definiscono l'operatore integrale $I_{\gamma,\mu}$ e ne dimostrano la limitatezza tra spazi di Lebesgue utilizzando argomenti di scaling e il teorema di interpolazione di Marcinkiewicz. Ciò fornisce il fondamento analitico necessario per gestire il termine non locale di Choquard.
2. Analisi della Compattezza (Condizione di Palais-Smale): Gli autori analizzano le successioni di Palais-Smale (PS) per il funzionale $J_\gamma$. A causa dell'esponente critico, l'immersione non è compatta. Il lavoro stabilisce un risultato di compattezza (Lemma 3.3) che mostra come la condizione PS valga a livelli energetici $c$ strettamente inferiori a una specifica soglia determinata dalla costante migliore $S_\Omega$ della disuguaglianza Grushin-HLS. Tale soglia è data da $\frac{N_\gamma - \mu + 2}{4N_\gamma - 2\mu} S_\Omega^{\frac{2N_\gamma - \mu}{N_\gamma - \mu + 2}}$.
3. Teoria Astratta dei Punti Critici: Per dimostrare la moltiplicità, gli autori utilizzano un teorema astratto sui punti critici di Bartolo, Benci e Fortunato. Tale teorema richiede la verifica di specifiche condizioni geometriche (geometria del passo montano) e della condizione PS. Gli autori costruiscono opportuni sottospazi $V$ e $W$ basati sugli autospazi dell'operatore di Grushin per soddisfare i requisiti di dimensione e codimensione del teorema.

Contributi e Risultati Chiave
Il lavoro presenta i seguenti risultati principali:

• Disuguaglianza Grushin-Hardy-Littlewood-Sobolev: Gli autori forniscono una dimostrazione completa della disuguaglianza HLS nel contesto dell'operatore di Grushin, un risultato precedentemente non disponibile nella letteratura. Tale disuguaglianza è cruciale per definire il funzionale energetico e stabilire l'esponente critico $2^*_{\gamma,\mu}$.
• Teorema di Biforcazione e Moltiplicità: Il teorema principale (Teorema 1.2) afferma che se $\lambda^*$ è un autovalore di $-\Delta_\gamma$ con molteplicità $m$, e $\lambda$ è sufficientemente vicino a $\lambda^*$ da sotto (soddisfacendo specificamente $\lambda^* - \lambda < \frac{S_\Omega}{|\Omega|^{\frac{2^*_{\gamma,\mu}-2}{2^*_{\gamma,\mu}}} (\text{diam }\Omega)^{\frac{\mu}{2^*_{\gamma,\mu}}}}$), allora il problema ammette almeno $m$ coppie di soluzioni non banali $\{\pm u_{\gamma,i}\}$.
• Comportamento Asintotico: Le soluzioni ottenute biforcano dallo zero; in particolare, $\|u_{\gamma,i}\|_\gamma \to 0$ quando $\lambda \to \lambda^*$.
• Generalizzazione: I risultati estendono le precedenti scoperte sugli operatori ellittici classici (Brezis-Nirenberg), sugli operatori frazionari e sugli operatori di Grushin con non linearità locali al contesto non locale Grushin-Choquard.

Significato e Affermazioni
Gli autori rivendicano quattro contributi primari:

1. Nuova Disuguaglianza: L'instaurazione della disuguaglianza HLS per l'operatore di Grushin colma una lacuna nella letteratura, permettendo lo studio di problemi critici di Choquard in questo contesto degenere.
2. Nuovo Livello Critico: L'introduzione di un nuovo livello energetico critico per la compattezza delle successioni di Palais-Smale consente l'applicazione della teoria dei punti critici a questo specifico problema non locale.
3. Estensione della Teoria: Il lavoro estende le teorie di biforcazione e moltiplicità presenti negli studi di Cerami, Fortunato, Struwe e altri al quadro non locale Grushin-Choquard.
4. Originalità nel Caso Locale: Gli autori notano che i loro risultati sono nuovi anche nel caso $\gamma = 0$, che corrisponde al Laplaciano classico con una non linearità di Choquard, suggerendo che la combinazione specifica dell'operatore di Grushin e del termine di Choquard produce risultati non precedentemente coperti dalla letteratura esistente su ciascun componente singolarmente.

Il lavoro conclude che, sotto le condizioni geometriche e spettrali specificate, la natura non locale del termine di Choquard combinata con la degenerazione dell'operatore di Grushin permette comunque l'esistenza di soluzioni multiple che biforcano dagli autovalori, rispecchiando il comportamento osservato nei contesti ellittici classici e frazionari.