Bifurcation and multiplicity results for critical Grushin-Choquard problems

技术摘要：临界 Grushin-Choquard 问题的分岔与多重性结果

问题陈述
本文研究了一类涉及 Grushin 算子 $\Delta_\gamma$ 的非局部 Brézis-Nirenberg 型临界 Choquard 问题。所考虑的具体方程为：
$$\begin{cases} -\Delta_\gamma u = \lambda u + \left( \int_{\Omega} \frac{|u(w)|^{2^*_{\gamma,\mu}}}{d(z-w)^\mu} dw \right) |u|^{2^*_{\gamma,\mu}-2}u & \text{在 } \Omega \text{ 内}, \\ u = 0 & \text{在 } \partial\Omega \text{ 上}, \end{cases}$$
其中 $\Omega \subset \mathbb{R}^N$（$N \ge 3$）是有界开区域且与子空间 $\{x=0\}$ 相交，$\lambda > 0$ 为参数，$\Delta_\gamma$ 是定义为 $\Delta_\gamma u = \Delta_x u + (1+\gamma)^2 |x|^{2\gamma} \Delta_y u$ 的 Grushin 算子（$\gamma \ge 0$）。项 $d(\cdot)$ 表示与 Grushin 算子相关的齐次范数，$2^*_{\gamma,\mu} = \frac{2N_\gamma - \mu}{N_\gamma - 2}$ 代表 Grushin-Hardy-Littlewood-Sobolev 背景下的临界指数，其中 $N_\gamma = m + (1+\gamma)n$ 为齐次维数。

主要目标是建立从算子 $-\Delta_\gamma$ 在 Dirichlet 边界条件下的任意特征值 $\lambda^*$ 出发的分岔存在性，并证明在 $\lambda^*$ 左侧的适当邻域内非平凡解的多重性结果。

方法论与变分框架
作者采用变分方法，定义了与问题相关的能量泛函 $J_\gamma: H_\gamma(\Omega) \to \mathbb{R}$。空间 $H_\gamma(\Omega)$ 是 $C^\infty_c(\Omega)$ 关于 Grushin 梯度范数的完备化。

关键的方法步骤包括：

1. Hardy-Littlewood-Sobolev (HLS) 不等式的建立：工作的很大一部分致力于证明适应于 Grushin 情形的 HLS 不等式版本。作者定义了积分算子 $I_{\gamma,\mu}$，并利用缩放论证和 Marcinkiewicz 插值定理证明了其在 Lebesgue 空间之间的有界性。这为处理非局部 Choquard 项提供了必要的分析基础。
2. 紧性分析（Palais-Smale 条件）：作者分析了泛函 $J_\gamma$ 的 Palais-Smale (PS) 序列。由于临界指数的存在，嵌入不是紧的。本文建立了一个紧性结果（引理 3.3），表明在能量水平 $c$ 严格低于由 Grushin-HLS 不等式的最佳常数 $S_\Omega$ 确定的特定阈值时，PS 条件成立。该阈值由 $\frac{N_\gamma - \mu + 2}{4N_\gamma - 2\mu} S_\Omega^{\frac{2N_\gamma - \mu}{N_\gamma - \mu + 2}}$ 给出。
3. 抽象临界点理论：为了证明多重性，作者利用了 Bartolo、Benci 和 Fortunato 提出的抽象临界点定理。该定理要求验证特定的几何条件（山路几何）和 PS 条件。作者基于 Grushin 算子的特征子空间构造了适当的子空间 $V$ 和 $W$，以满足该定理对维数和余维数的要求。

主要贡献与结果
本文提出了以下主要结果：

• Grushin-Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式：作者提供了 Grushin 算子背景下 HLS 不等式的完整证明，这是文献中此前未有的结果。该不等式对于定义能量泛函和确立临界指数 $2^*_{\gamma,\mu}$ 至关重要。
• 分岔与多重性定理：主要定理（定理 1.2）指出，如果 $\lambda^*$ 是 $-\Delta_\gamma$ 的重数为 $m$ 的特征值，且 $\lambda$ 从下方充分接近 $\lambda^*$（具体满足 $\lambda^* - \lambda < \frac{S_\Omega}{|\Omega|^{\frac{2^*_{\gamma,\mu}-2}{2^*_{\gamma,\mu}}} (\text{diam }\Omega)^{\frac{\mu}{2^*_{\gamma,\mu}}}}$），则该问题至少 admits $m$ 对非平凡解 $\{\pm u_{\gamma,i}\}$。
• 渐近行为：获得的解从零点分岔；具体而言，当 $\lambda \to \lambda^*$ 时，$\|u_{\gamma,i}\|_\gamma \to 0$。
• 推广：这些结果将关于经典椭圆算子（Brezis-Nirenberg）、分数阶算子以及具有局部非线性项的 Grushin 算子的先前发现，推广到了非局部 Grushin-Choquard 情形。

意义与主张
作者提出了四项主要贡献：

1. 新颖的不等式：建立 Grushin 算子的 HLS 不等式填补了文献中的空白，使得在此退化情形下研究临界 Choquard 问题成为可能。
2. 新的临界水平：引入用于 Palais-Smale 序列紧性的新临界能量水平，使得临界点理论能够应用于这一特定的非局部问题。
3. 理论的扩展：这项工作将 Cerami、Fortunato、Struwe 等人著作中关于分岔和多重性的理论扩展到了非局部 Grushin-Choquard 框架。
4. 局部情形下的原创性：作者指出，即使在 $\gamma = 0$ 的情况下（对应于具有 Choquard 非线性项的经典拉普拉斯算子），其结果也是新的，这表明 Grushin 算子与 Choquard 项的特定组合产生了现有文献中单独针对任一组件所未涵盖的结果。

本文结论认为，在指定的几何和谱条件下，Choquard 项的非局部性质与 Grushin 算子的退化性相结合，仍然允许存在从特征值分岔的多重解，这反映了在经典椭圆和分数阶情形中观察到的行为。