Bifurcation and multiplicity results for critical Grushin-Choquard problems

技術的概要：臨界グリン・チョクアル問題に対する分岐と多重性結果

問題の定式化
本論文は、グリン作用素 $\Delta_\gamma$ を含む非局所的なブレージス＝ニレンベルグ型の臨界チョクアル問題を調査する。検討対象とする具体的な方程式は以下の通りである：
$$\begin{cases} -\Delta_\gamma u = \lambda u + \left( \int_{\Omega} \frac{|u(w)|^{2^*_{\gamma,\mu}}}{d(z-w)^\mu} dw \right) |u|^{2^*_{\gamma,\mu}-2}u & \text{in } \Omega, \\ u = 0 & \text{on } \partial\Omega, \end{cases}$$
ここで、$\Omega \subset \mathbb{R}^N$ ($N \ge 3$) は部分空間 $\{x=0\}$ と交わる有界な開領域であり、$\lambda > 0$ はパラメータ、$\Delta_\gamma$ は $\gamma \ge 0$ に対して $\Delta_\gamma u = \Delta_x u + (1+\gamma)^2 |x|^{2\gamma} \Delta_y u$ と定義されるグリン作用素である。項 $d(\cdot)$ はグリン作用素に関連する同次ノルムを表し、$2^*_{\gamma,\mu} = \frac{2N_\gamma - \mu}{N_\gamma - 2}$ はグリン＝ハーディ＝リトルウッド＝ソボレフの文脈における臨界指数を表す。ただし、$N_\gamma = m + (1+\gamma)n$ は同次元である。

主な目的は、ディリクレ境界条件のもとで作用素 $-\Delta_\gamma$ の任意の固有値 $\lambda^*$ からの分岐の存在を確立し、$\lambda^*$ の適切な左近傍における非自明解の多重性結果を証明することである。

手法と変分枠組み
著者は変分法を採用し、問題に関連するエネルギー汎関数 $J_\gamma: H_\gamma(\Omega) \to \mathbb{R}$ を定義する。空間 $H_\gamma(\Omega)$ は、グリン勾配ノルムに関して $C^\infty_c(\Omega)$ を完備化したものである。

主要な手法論的ステップは以下の通りである：

1. ハーディ＝リトルウッド＝ソボレフ（HLS）不等式の確立： 作業の重要な部分は、グリン設定に適応した HLS 不等式の版を証明することに費やされている。著者は積分作用素 $I_{\gamma,\mu}$ を定義し、スケーリング論法とマルキンジエヴィッチ補間定理を用いて、ルベーグ空間間のその有界性を証明する。これにより、非局所的なチョクアル項を扱うために必要な解析的基盤が提供される。
2. コンパクト性の解析（パライ＝スモール条件）： 著者は汎関数 $J_\gamma$ に対するパライ＝スモール（PS）列を解析する。臨界指数のため、埋め込みはコンパクトではない。本論文は、グリン＝HLS 不等式の最良定数 $S_\Omega$ によって決定される特定の閾値より厳密に低いエネルギーレベル $c$ において PS 条件が成り立つことを示すコンパクト性結果（補題 3.3）を確立する。この閾値は $\frac{N_\gamma - \mu + 2}{4N_\gamma - 2\mu} S_\Omega^{\frac{2N_\gamma - \mu}{N_\gamma - \mu + 2}}$ で与えられる。
3. 抽象臨界点理論： 多重性を証明するために、著者はバルトロ、ベンチ、フォルチュナートによる抽象臨界点定理を利用する。この定理は、特定の幾何学的条件（マウンテンパス幾何）と PS 条件の検証を必要とする。著者は、定理の次元と余次元の要件を満たすために、グリン作用素の固有空間に基づいて適切な部分空間 $V$ と $W$ を構成する。

主要な貢献と結果
本論文は以下の主要な結果を提示する：

• グリン＝ハーディ＝リトルウッド＝ソボレフ不等式： 著者は、グリン作用素の文脈における HLS 不等式の完全な証明を提供する。これは文献において以前は利用できなかった結果である。この不等式は、エネルギー汎関数を定義し、臨界指数 $2^*_{\gamma,\mu}$ を確立する上で決定的である。
• 分岐と多重性の定理： 主要定理（定理 1.2）は、$\lambda^*$ が重複度 $m$ を持つ $-\Delta_\gamma$ の固有値であり、$\lambda$ が $\lambda^*$ に十分近く、かつ下方から接近している（具体的には $\lambda^* - \lambda < \frac{S_\Omega}{|\Omega|^{\frac{2^*_{\gamma,\mu}-2}{2^*_{\gamma,\mu}}} (\text{diam }\Omega)^{\frac{\mu}{2^*_{\gamma,\mu}}}}$ を満たす）場合、問題が少なくとも $m$ 組の非自明解 $\{\pm u_{\gamma,i}\}$ を許容すると述べている。
• 漸近挙動： 得られた解はゼロから分岐する。具体的には、$\lambda \to \lambda^*$ に対して $\|u_{\gamma,i}\|_\gamma \to 0$ となる。
• 一般化： これらの結果は、古典的楕円型作用素（ブレージス＝ニレンベルグ）、分数型作用素、および局所非線形性を持つグリン作用素に関する先行研究を、非局所的なグリン＝チョクアル設定へと拡張するものである。

意義と主張
著者は以下の 4 つの主要な貢献を主張する：

1. 新規不等式： グリン作用素に対する HLS 不等式の確立は、文献におけるギャップを埋め、この退化した設定における臨界チョクアル問題の研究を可能にする。
2. 新しい臨界レベル： パライ＝スモール列のコンパクト性に対する新しい臨界エネルギーレベルの導入は、この特定の非局所問題への臨界点理論の適用を可能にする。
3. 理論の拡張： この研究は、セラミ、フォルチュナート、ストリューヴェ、および他の研究者による分岐と多重性の理論を、非局所的なグリン＝チョクアル枠組みへと拡張する。
4. 局所の場合における独自性： 著者は、$\gamma = 0$ の場合、すなわちチョクアル非線形性を持つ古典的ラプラシアンに対応するケースにおいても、これらの結果は新規であることを指摘している。これは、グリン作用素とチョクアル項の特定の組み合わせが、いずれかの単独成分に関する既存の文献では以前に扱われていなかった結果をもたらすことを示唆している。

本論文は、指定された幾何学的およびスペクトル条件の下では、チョクアル項の非局所性とグリン作用素の退化性が組み合わさっても、固有値から分岐する複数の解の存在を許容し、古典的楕円型および分数型設定で見られる挙動を反映していると結論づけている。