Bifurcation and multiplicity results for critical Grushin-Choquard problems

Resumen Técnico: Resultados de Bifurcación y Multiplicidad para Problemas Críticos de Grushin-Choquard

Planteamiento del Problema
El artículo investiga un problema crítico de tipo Choquard no local de Brézis-Nirenberg que involucra al operador de Grushin $\Delta_\gamma$. La ecuación específica bajo consideración es:
$$\begin{cases} -\Delta_\gamma u = \lambda u + \left( \int_{\Omega} \frac{|u(w)|^{2^*_{\gamma,\mu}}}{d(z-w)^\mu} dw \right) |u|^{2^*_{\gamma,\mu}-2}u & \text{en } \Omega, \\ u = 0 & \text{en } \partial\Omega, \end{cases}$$
donde $\Omega \subset \mathbb{R}^N$ ($N \ge 3$) es un dominio abierto acotado que interseca al subespacio $\{x=0\}$, $\lambda > 0$ es un parámetro, y $\Delta_\gamma$ es el operador de Grushin definido por $\Delta_\gamma u = \Delta_x u + (1+\gamma)^2 |x|^{2\gamma} \Delta_y u$ para $\gamma \ge 0$. El término $d(\cdot)$ denota la norma homogénea asociada al operador de Grushin, y $2^*_{\gamma,\mu} = \frac{2N_\gamma - \mu}{N_\gamma - 2}$ representa el exponente crítico en el contexto de Grushin-Hardy-Littlewood-Sobolev, con $N_\gamma = m + (1+\gamma)n$ siendo la dimensión homogénea.

El objetivo principal es establecer la existencia de bifurcación desde cualquier autovalor $\lambda^*$ del operador $-\Delta_\gamma$ bajo condiciones de frontera de Dirichlet y probar resultados de multiplicidad para soluciones no triviales en una vecindad izquierda adecuada de $\lambda^*$.

Metodología y Marco Variacional
Los autores emplean un enfoque variacional, definiendo el funcional de energía $J_\gamma: H_\gamma(\Omega) \to \mathbb{R}$ asociado al problema. El espacio $H_\gamma(\Omega)$ es la completitud de $C^\infty_c(\Omega)$ con respecto a la norma del gradiente de Grushin.

Los pasos metodológicos clave incluyen:

1. Establecimiento de la Desigualdad de Hardy-Littlewood-Sobolev (HLS): Una parte significativa del trabajo se dedica a probar una versión de la desigualdad HLS adaptada al contexto de Grushin. Los autores definen el operador integral $I_{\gamma,\mu}$ y prueban su acotación entre espacios de Lebesgue utilizando argumentos de escalado y el teorema de interpolación de Marcinkiewicz. Esto proporciona la base analítica necesaria para manejar el término no local de Choquard.
2. Análisis de Compacidad (Condición de Palais-Smale): Los autores analizan las secuencias de Palais-Smale (PS) para el funcional $J_\gamma$. Debido al exponente crítico, la inmersión no es compacta. El artículo establece un resultado de compacidad (Lema 3.3) que muestra que la condición PS se cumple en niveles de energía $c$ estrictamente por debajo de un umbral específico determinado por la mejor constante $S_\Omega$ de la desigualdad Grushin-HLS. Este umbral viene dado por $\frac{N_\gamma - \mu + 2}{4N_\gamma - 2\mu} S_\Omega^{\frac{2N_\gamma - \mu}{N_\gamma - \mu + 2}}$.
3. Teoría Abstracta de Puntos Críticos: Para probar la multiplicidad, los autores utilizan un teorema abstracto de puntos críticos de Bartolo, Benci y Fortunato. Este teorema requiere verificar condiciones geométricas específicas (geometría de paso de montaña) y la condición PS. Los autores construyen subespacios apropiados $V$ y $W$ basados en los espacios propios del operador de Grushin para satisfacer los requisitos de dimensión y codimensión del teorema.

Contribuciones y Resultados Clave
El artículo presenta los siguientes resultados principales:

• Desigualdad Grushin-Hardy-Littlewood-Sobolev: Los autores proporcionan una prueba completa de la desigualdad HLS en el contexto del operador de Grushin, un resultado previamente no disponible en la literatura. Esta desigualdad es crucial para definir el funcional de energía y establecer el exponente crítico $2^*_{\gamma,\mu}$.
• Teorema de Bifurcación y Multiplicidad: El teorema principal (Teorema 1.2) establece que si $\lambda^*$ es un autovalor de $-\Delta_\gamma$ con multiplicidad $m$, y $\lambda$ está suficientemente cerca de $\lambda^*$ desde abajo (específicamente satisfaciendo $\lambda^* - \lambda < \frac{S_\Omega}{|\Omega|^{\frac{2^*_{\gamma,\mu}-2}{2^*_{\gamma,\mu}}} (\text{diam }\Omega)^{\frac{\mu}{2^*_{\gamma,\mu}}}}$), entonces el problema admite al menos $m$ pares de soluciones no triviales $\{\pm u_{\gamma,i}\}$.
• Comportamiento Asintótico: Las soluciones obtenidas bifurcan desde cero; específicamente, $\|u_{\gamma,i}\|_\gamma \to 0$ cuando $\lambda \to \lambda^*$.
• Generalización: Los resultados extienden hallazgos previos sobre operadores elípticos clásicos (Brezis-Nirenberg), operadores fraccionarios y operadores de Grushin con no linealidades locales al contexto no local de Grushin-Choquard.

Significado y Afirmaciones
Los autores afirman cuatro contribuciones principales:

1. Nueva Desigualdad: El establecimiento de la desigualdad HLS para el operador de Grushin llena un vacío en la literatura, permitiendo el estudio de problemas críticos de Choquard en este contexto degenerado.
2. Nuevo Nivel Crítico: La introducción de un nuevo nivel de energía crítica para la compacidad de las secuencias de Palais-Smale permite la aplicación de la teoría de puntos críticos a este problema no local específico.
3. Extensión de la Teoría: El trabajo extiende las teorías de bifurcación y multiplicidad encontradas en obras de Cerami, Fortunato, Struwe y otros al marco no local de Grushin-Choquard.
4. Originalidad en el Caso Local: Los autores notan que sus resultados son nuevos incluso en el caso $\gamma = 0$, que corresponde al Laplaciano clásico con una no linealidad de Choquard, sugiriendo que la combinación específica del operador de Grushin y el término de Choquard produce resultados no cubiertos previamente por la literatura existente sobre cualquiera de los componentes por separado.

El artículo concluye que, bajo las condiciones geométricas y espectrales especificadas, la naturaleza no local del término de Choquard combinada con la degeneración del operador de Grushin aún permite la existencia de múltiples soluciones que bifurcan desde autovalores, reflejando el comportamiento observado en contextos elípticos clásicos y fraccionarios.