A new expansion of the Riemann zeta function

1. Il Problema e l'Obiettivo

Il lavoro si propone di introdurre una nuova espansione in serie convergente della funzione Zeta di Riemann, $\zeta(s)$, valida nella striscia critica $0 < \Re(s) < 1$.
Mentre esistono già espansioni polinomiali basate sulla formula di interpolazione di Newton (che coinvolgono i costanti di Stieltjes $\gamma_m$) o su altre trasformate, l'autore mira a costruire un'espansione della forma:
$$\zeta(s) = \sum_{m \ge 0} x_m P_m(s)$$
dove:

• $P_m(s)$ sono polinomi ortogonali le cui radici giacciono esattamente sulla retta critica $\Re(s) = 1/2$.
• I coefficienti $x_m$ sono combinazioni lineari a coefficienti razionali della costante di Eulero-Mascheroni $\gamma$ e dei valori della funzione Zeta $\zeta(k)$ per $k \ge 2$.

L'obiettivo è fornire una rappresentazione che non solo sia convergente nella striscia critica, ma che sfrutti le proprietà di ortogonalità dei polinomi per collegare l'analisi complessa di $\zeta(s)$ alla teoria degli spazi di Hilbert.

2. Metodologia

L'approccio metodologico combina la somma di Ramanujan per serie divergenti, la trasformata di Mellin e la teoria dei polinomi di Laguerre.

A. Somma di Ramanujan e Spazio $\mathcal{E}$

L'autore utilizza la somma di Ramanujan, denotata come $\sum^{\mathcal{R}}$, per assegnare un valore finito a serie divergenti che appaiono naturalmente nello sviluppo.

• Viene definito lo spazio $\mathcal{E}$ di funzioni analitiche nel semipiano destro che soddisfano condizioni di crescita controllate (teorema di Carlson).
• Per funzioni $f \in \mathcal{E}$, la somma di Ramanujan è definita tramite una formula integrale di Plana:
  $$\sum^{\mathcal{R}}_{n \ge 1} f(n) = \frac{f(1)}{2} + i \int_0^{+\infty} \frac{f(1+it) - f(1-it)}{e^{2\pi t} - 1} dt$$
• Un risultato chiave è che per $s \neq 1$, $\sum^{\mathcal{R}}_{n \ge 1} n^{-s} = \zeta(s) - \frac{1}{s-1}$.

B. Polinomi $P_m(s)$ e Trasformata di Mellin

L'espansione si basa sulla trasformata di Mellin di funzioni legate ai polinomi di Laguerre $L_m(x)$.

• Si definisce una sequenza di polinomi $P_m(s)$ attraverso la relazione:
  $$\Gamma(s) P_m(s) = 2 \int_0^{+\infty} e^{-x} L_m(2x) x^{s-1} dx$$
• Questi polinomi sono legati alla funzione generatrice:
  $$\frac{2}{1-\xi} \left(\frac{1-\xi}{1+\xi}\right)^s = \sum_{m=0}^{+\infty} P_m(s) \xi^m$$
• Viene dimostrata l'espressione integrale per $0 < \Re(s) < 1$:
  $$P_m(s) = \frac{2 \sin(\pi s)}{\pi} \int_0^1 t^{s-1}(1-t)^{-s}(1-2t)^m dt$$

C. Inversione della Serie

L'autore parte dall'identità $z^{-s} = \sum \psi_m(z) P_m(s)$ (dove $\psi_m(z) = \frac{1}{1+z}(\frac{z-1}{z+1})^m$).
Sostituendo $z=n$ e applicando la somma di Ramanujan alla serie $\sum n^{-s}$, si ottiene formalmente:
$$\sum^{\mathcal{R}}_{n \ge 1} n^{-s} = \sum_{m \ge 0} \left( \sum^{\mathcal{R}}_{n \ge 1} \psi_m(n) \right) P_m(s)$$
Il cuore della dimostrazione risiede nel provare la convergenza assoluta di questa serie e la legittimità dello scambio tra la somma su $n$ e la somma su $m$ nella striscia critica.

3. Risultati Principali

1. Espansione Convergente di $\zeta(s)$

Per $0 < \Re(s) < 1$, la funzione Zeta ammette la seguente espansione:
$$\zeta(s) = \sum_{m=0}^{+\infty} x_m P_m(s)$$
dove i coefficienti $x_m$ sono dati esplicitamente da:
$$x_m = \gamma + \sum_{k=1}^m \binom{m}{k} (-2)^k \zeta(k+1) + r_m$$
con $r_m$ che è un numero razionale definito da una somma armonica alternata.

• Per $m=0$, $x_0 = \gamma - 1$.
• I primi coefficienti sono calcolati esplicitamente (es. $x_1 = \gamma - 2\zeta(2) + 3$).

2. Ortogonalità e Radici Critiche

Il risultato più significativo riguarda la posizione delle radici dei polinomi $P_m(s)$.

• Si definisce $Q_m(t) = \frac{1}{2} P_m(1/2 + it)$.
• Teorema: La sequenza $(Q_m)_{m \ge 0}$ forma un sistema ortonormale completo nello spazio di Hilbert $L^2(\mathbb{R}, \frac{dt}{\cosh(\pi t)})$.
• Conseguenza: Le radici di $P_m(s)$ giacciono tutte sulla retta critica $\Re(s) = 1/2$. Questo è un risultato strutturale che collega l'ortogonalità dei polinomi alla distribuzione degli zeri della funzione Zeta.

3. Espansione Ortonormale di $\zeta(1/2 + it)$

Nella striscia critica, la funzione Zeta può essere vista come un vettore nello spazio $L^2$ pesato:
$$\zeta(1/2 + it) = 2 \sum_{m=0}^{+\infty} x_m Q_m(t)$$
Questa è un'espansione in serie di Fourier generalizzata (serie di Fourier-Laguerre) rispetto alla base ortonormale $Q_m$.

4. Identità Integrale per la Norma Quadratica

Utilizzando la proprietà di ortonormalità e calcoli formali sulla somma di Ramanujan, l'autore deriva un'identità chiusa per l'integrale del modulo quadrato della funzione Zeta sulla retta critica:
$$\frac{1}{2} \int_{-\infty}^{+\infty} \left| \zeta(1/2 + it) \right|^2 \frac{dt}{\cosh(\pi t)} = \log(2\pi) - \gamma - \frac{1}{2}$$
Questa formula collega la "energia" della funzione Zeta (pesata) direttamente a costanti fondamentali come $\gamma$ e $\log(2\pi)$.

4. Contributi Chiave e Significato

1. Nuova Base Polinomiale: L'introduzione della famiglia di polinomi $P_m(s)$ offre una nuova base per espandere funzioni analitiche nella striscia critica, con la proprietà distintiva che le loro radici sono confinate sulla retta critica.
2. Connessione tra Somma Divergente e Zeta: Il lavoro dimostra come la somma di Ramanujan possa essere utilizzata rigorosamente per invertire serie divergenti e ottenere rappresentazioni convergenti per $\zeta(s)$, bypassando la necessità di prolungamento analitico diretto in alcuni passaggi formali.
3. Struttura Spettrale: La dimostrazione che i polinomi $Q_m$ formano una base ortonormale completa in uno spazio $L^2$ specifico suggerisce che la funzione Zeta possiede una struttura spettrale profonda legata ai polinomi di Laguerre.
4. Calcolo di Costanti: La derivazione dell'identità integrale per $\int |\zeta|^2$ fornisce un nuovo metodo per valutare integrali complessi legati alla teoria dei numeri, collegandoli a combinazioni di $\gamma$ e $\log(2\pi)$.
5. Implicazioni per l'Ipotesi di Riemann: Sebbene il lavoro non dimostri l'Ipotesi di Riemann, il fatto che le radici dei polinomi di approssimazione $P_m$ giacciano esattamente su $\Re(s)=1/2$ è un risultato strutturale affascinante che potrebbe offrire nuovi spunti per approcci alla distribuzione degli zeri della Zeta.

In sintesi, il paper fornisce un ponte elegante tra l'analisi complessa, la teoria delle serie divergenti (Ramanujan) e la teoria degli operatori ortogonali, offrendo una nuova rappresentazione convergente e strutturata della funzione Zeta di Riemann.