A new expansion of the Riemann zeta function

Titel: Een nieuwe expansie van de Riemann-zetfunctie

Auteur: B. Candelpergher (Universiteit Côte d'Azur, Frankrijk)

---

1. Probleemstelling

De Riemann-zetfunctie, $\zeta(s)$, is een van de meest fundamentele objecten in de getaltheorie, met name in de kritieke strip waar $0 < \Re(s) < 1$. Hoewel er reeds diverse polynoomexpansies van $\zeta(s)$ bestaan (gebaseerd op Newton-interpolatie of Stieltjes-constanten), zoekt de auteur naar een nieuwe representatie die:

1. Geldig is in de kritieke strip.
2. Gebruikmaakt van een familie van orthogonale polynomen waarvan de nulpunten specifiek op de kritieke lijn $\Re(s) = 1/2$ liggen.
3. De coëfficiënten van de expansie uitdrukt in termen van de Euler-Mascheroni-constante $\gamma$ en waarden van de zetfunctie $\zeta(k)$.

Het doel is om $\zeta(s)$ te schrijven als een convergente reeks $\sum x_m P_m(s)$, waarbij $P_m(s)$ een specifieke rij polynomen is.

2. Methodologie

De auteur hanteert een geavanceerde analytische aanpak die drie hoofdblokken combineert:

• Ramanujan's Sommatie:
  De kern van de methode is het gebruik van de sommatietechniek van Ramanujan voor divergente reeksen. In plaats van de standaard som $\sum_{n \ge 1} n^{-s}$ (die divergeert voor $\Re(s) \le 1$), gebruikt de auteur de Ramanujan-som $\mathcal{R}\sum_{n \ge 1} n^{-s}$.
  Voor de ruimte van analytische functies $\mathcal{E}$ (waarvoor de Ramanujan-constante goed gedefinieerd is) geldt de relatie:
  $$\mathcal{R}\sum_{n \ge 1} \frac{1}{n^s} = \zeta(s) - \frac{1}{s-1}$$
  Dit stelt de auteur in staat om divergente reeksen die ontstaan bij het invullen van specifieke waarden in een genererende functie, op een wiskundig consistente manier te manipuleren.

• Laguerre-polynomen en Mellin-transformatie:
  De auteur introduceert een rij polynomen $P_m(s)$ die gerelateerd zijn aan de Laguerre-polynomen $L_m(x)$. Deze relatie wordt gelegd via de Mellin-transformatie van de functie $x \mapsto e^{-x}L_m(2x)$.
  De genererende functie voor deze polynomen leidt tot de expansie:
  $$z^{-s} = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{1}{1+z} \left(\frac{z-1}{z+1}\right)^m P_m(s)$$
  Door $z$ te vervangen door gehele getallen $n$ en de Ramanujan-som toe te passen, kan de reeks voor $\zeta(s)$ worden afgeleid.

• Ortogonaliteit en Compleetheid:
  Een cruciaal onderdeel is het bewijzen dat de getransformeerde polynomen $Q_m(t) = \frac{1}{2}P_m(\frac{1}{2} + it)$ een volledig orthonormaal systeem vormen in de Hilbertruimte $L^2(\mathbb{R}, \frac{dt}{\cosh(\pi t)})$. Deze eigenschap is essentieel om de locatie van de nulpunten van $P_m(s)$ te bepalen en om de convergentie van de expansie te garanderen.

3. Belangrijkste Bijdragen en Resultaten

A. De Nieuwe Expansie van $\zeta(s)$

De hoofdbevinding is de volgende convergente expansie voor $0 < \Re(s) < 1$:
$$\zeta(s) = \sum_{m=0}^{\infty} x_m P_m(s)$$
De coëfficiënten $x_m$ worden expliciet gegeven als lineaire combinaties met rationale coëfficiënten van $\gamma$ en $\zeta(k+1)$:
$$x_m = \gamma + \sum_{k=1}^{m} \binom{m}{k} (-2)^k \zeta(k+1) + r_m$$
waarbij $r_m$ een rationaal getal is dat afhangt van $m$. Voor de eerste waarden geldt bijvoorbeeld:

• $x_1 = \gamma - 2\zeta(2) + 3$
• $x_2 = \gamma - 4\zeta(2) + 4\zeta(3) + 1$

B. Locatie van de Nulpunten

Het artikel bewijst dat alle nulpunten van het polynoom $P_m(s)$ liggen op de kritieke lijn $\Re(s) = 1/2$.
Dit is een direct gevolg van het feit dat de polynomen $Q_m(t)$ orthogonaal zijn ten opzichte van de gewichtsfunctie $1/\cosh(\pi t)$. Volgens de theorie van orthogonale polynomen moeten de nulpunten van $Q_m(t)$ reëel zijn, wat impliceert dat de nulpunten van $P_m(s)$ de vorm $1/2 + it$ hebben.

C. Orthonormale Expansie en Integralen

De expansie wordt geïnterpreteerd als een orthonormale ontwikkeling in de ruimte $L^2(\mathbb{R}, \frac{dt}{\cosh(\pi t)})$:
$$\zeta(1/2 + it) = 2 \sum_{m=0}^{\infty} x_m Q_m(t)$$
Hieruit volgt een nieuwe integraalidentiteit voor de som van de kwadraten van de coëfficiënten, wat leidt tot een exacte waarde voor een zwaar gewogen integraal van de modulus van de zetfunctie op de kritieke lijn:
$$\frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{|\zeta(1/2 + it)|^2}{\cosh(\pi t)} dt = \log(2\pi) - \gamma - \frac{1}{2}$$

4. Significance (Betekenis)

Deze paper biedt een fundamenteel nieuwe perspectief op de Riemann-zetfunctie:

1. Verbinding tussen Analyse en Getaltheorie: De methode verbindt de theorie van divergente reeksen (Ramanujan), speciale functies (Laguerre en hypergeometrische functies) en de analytische eigenschappen van $\zeta(s)$ op een elegante manier.
2. Nulpunten van Polynomen: Het feit dat de nulpunten van de benaderende polynomen $P_m(s)$ exact op de kritieke lijn liggen, is een opmerkelijk resultaat. Hoewel dit de Riemann-hypothese niet bewijst, biedt het een nieuwe algebraïsche structuur die de symmetrie van de zetfunctie op de kritieke lijn weerspiegelt.
3. Nieuwe Integralen: De afgeleide integralen voor $\zeta(k)$ en de totale energie van $\zeta(1/2+it)$ onder de gewichtsfunctie $\cosh(\pi t)$ bieden nieuwe instrumenten voor numerieke berekeningen en theoretisch onderzoek.
4. Alternatieve Expansie: Het biedt een alternatief voor bestaande reeksontwikkelingen (zoals die met Stieltjes-constanten) waarbij de coëfficiënten direct gerelateerd zijn aan de waarden van de zetfunctie zelf, wat theoretisch inzicht kan geven in de structuur van deze waarden.

Samenvattend presenteert Candelpergher een krachtige nieuwe representatie van $\zeta(s)$ die niet alleen convergent is in de kritieke strip, maar ook diepe structurele eigenschappen van de functie blootlegt via de theorie van orthogonale polynomen.