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A new expansion of the Riemann zeta function

En s'appuyant sur la méthode de sommation de Ramanujan, cet article présente un développement du fonction zêta de Riemann dans la bande critique sous la forme d'une série convergente dont les termes sont des polynômes ayant tous leurs racines sur la droite critique $\Re(s)=1/2$ et dont les coefficients sont des combinaisons linéaires finies de la constante d'Euler et des valeurs de la fonction zêta aux entiers.

Auteurs originaux : B. Candelpergher

Publié 2026-03-03

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Auteurs originaux : B. Candelpergher

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Imaginez que le nombre $\zeta(s)$ (la fonction zêta de Riemann) soit un chef d'orchestre mystérieux qui dirige la symphonie des nombres premiers. Ce chef est très puissant, mais il est aussi très capricieux : il joue une musique magnifique, mais il y a une zone de brouillard (appelée la "bande critique") où il est difficile de prédire exactement ce qu'il va jouer.

Dans cet article, l'auteur, Bernard Candelpergher, propose une nouvelle façon de "traduire" la musique de ce chef d'orchestre pour mieux la comprendre dans cette zone de brouillard.

Voici l'explication de sa découverte, sans mathématiques compliquées, avec quelques images :

1. Le problème : Comment décrire une mélodie complexe ?

Jusqu'à présent, pour décrire la musique du chef d'orchestre, les mathématiciens utilisaient des "notes" un peu spéciales (des polynômes de Newton ou des constantes de Stieltjes). C'était comme essayer de décrire un tableau impressionniste en utilisant uniquement des lignes droites et des angles droits : ça marche, mais ce n'est pas très élégant et ça ne capture pas toute la beauté.

L'auteur dit : "Et si on utilisait un autre jeu de notes, plus adapté ?"

2. La nouvelle boîte à outils : Les "Polynômes Pm"

L'auteur invente une nouvelle famille d'outils mathématiques qu'il appelle $P_m(s)$ .

L'analogie : Imaginez que vous vouliez décrire la forme d'une vague. Vous pouvez utiliser des carrés (c'est difficile), ou vous pouvez utiliser des vagues parfaites (des sinus). Ici, les $P_m(s)$ sont comme des vagues parfaites spécialement conçues pour s'adapter à la musique du chef d'orchestre.
La propriété magique : L'auteur prouve quelque chose de fascinant : si vous cherchez les "points morts" de ces vagues (les endroits où elles touchent le sol), ils se trouvent tous alignés sur une ligne droite précise, exactement au milieu de la bande critique ( $\Re(s) = 1/2$ ). C'est comme si ces outils avaient été taillés sur mesure pour révéler le secret le plus célèbre de la mathématique : l'hypothèse de Riemann.

3. La recette de la mélodie : Le mélange d'ingrédients

L'auteur montre que la musique du chef d'orchestre (la fonction zêta) peut être reconstruite en empilant ces nouvelles vagues les unes sur les autres.
$\text{Musique} = \text{Note}_1 \times \text{Vague}_1 + \text{Note}_2 \times \text{Vague}_2 + \dots$

Mais d'où viennent les coefficients (les "Notes" ou $x_m$ ) ?
C'est là que ça devient drôle. L'auteur dit que pour trouver la bonne note à mettre devant chaque vague, il faut faire un mélange secret d'ingrédients très connus :

La constante d'Euler ( $\gamma$ ), qui est un peu comme le "goût de base" des nombres.
Les valeurs $\zeta(2), \zeta(3)$ , etc., qui sont des constantes mathématiques célèbres.
Des nombres rationnels simples.

C'est comme une recette de cuisine : pour faire le gâteau parfait, vous ne prenez pas n'importe quoi, vous mélangez de la farine (Euler), du sucre ( $\zeta$ ) et un peu de sel (des nombres rationnels) selon une formule précise.

4. Le secret du chef : La "Somme de Ramanujan"

Pour trouver ces coefficients, l'auteur utilise une technique ancienne et un peu magique appelée la somme de Ramanujan.

L'analogie : Imaginez que vous devez additionner une liste de nombres qui ne s'arrête jamais (1 + 2 + 3 + 4...). Normalement, ça donne l'infini, ce qui n'est pas utile. Mais Ramanujan a trouvé une astuce pour dire : "Si on regarde cette somme d'une certaine façon, elle vaut en réalité un nombre fini et précis."
L'auteur utilise cette astuce pour "nettoyer" les calculs et extraire les coefficients exacts de sa nouvelle recette. C'est comme si on prenait une soupe trop salée (une somme infinie) et qu'on utilisait un filtre magique pour en extraire juste la saveur parfaite.

5. Le résultat final : Une symphonie parfaite

En utilisant cette nouvelle méthode, l'auteur obtient deux résultats majeurs :

Une nouvelle formule : Il peut maintenant écrire la fonction zêta dans la zone difficile (la bande critique) comme une somme infinie de ces nouvelles vagues ( $P_m$ ), chacune pondérée par son ingrédient secret ( $x_m$ ).
Une preuve de stabilité : Il montre que ces vagues sont "orthogonales".
- L'image : Imaginez des cordes de guitare. Si vous pincez une corde, les autres ne bougent pas. De la même manière, ces polynômes sont indépendants les uns des autres. Cela permet de calculer la "puissance" totale de la musique (l'intégrale du carré de la fonction) et de trouver une valeur très précise liée à $\log(2\pi)$ et à la constante d'Euler.

En résumé

Bernard Candelpergher a trouvé un nouvel alphabet pour écrire la langue de la fonction zêta.

Au lieu d'utiliser des mots compliqués, il utilise des vagues mathématiques ( $P_m$ ) qui sont toutes alignées sur la ligne mystérieuse du milieu.
Il a trouvé la recette exacte (les coefficients $x_m$ ) pour assembler ces vagues, en mélangeant les constantes les plus célèbres des mathématiques.
Il utilise une astuce de somme infinie (Ramanujan) pour rendre le tout cohérent.

C'est comme si on avait trouvé une nouvelle partition de musique qui révèle que la symphonie des nombres premiers est en fait construite sur une structure géométrique très simple et très belle, alignée parfaitement sur une ligne droite.

1. Problématique et Contexte

L'article s'attaque à la représentation du fonction zêta de Riemann $\zeta(s)$ dans la bande critique $\{0 < \Re(s) < 1\}$ . Bien qu'il existe déjà plusieurs développements de $\zeta(s)$ basés sur l'interpolation de Newton ou les constantes de Stieltjes (notamment autour du pôle $s=1$ ), l'auteur cherche à établir un développement en série convergente utilisant une famille spécifique de polynômes orthogonaux.

L'objectif principal est de :

Construire une expansion de $\zeta(s)$ sous la forme $\sum x_m P_m(s)$ .
Démontrer que les racines de ces polynômes $P_m(s)$ sont situées sur la ligne critique $\Re(s) = 1/2$ .
Établir une connexion entre cette expansion et la théorie de la somme de Ramanujan des séries divergentes.

2. Méthodologie

La démarche de l'auteur repose sur une combinaison de l'analyse complexe, de la théorie des polynômes orthogonaux (Laguerre) et de la sommation de séries divergentes.

A. Sommation de Ramanujan et Espace $\mathcal{E}$

L'auteur utilise la méthode de sommation de Ramanujan pour attribuer une valeur finie à des séries divergentes. Il définit un espace $\mathcal{E}$ de fonctions analytiques dans le demi-plan $\Re(z) > 0$ satisfaisant des conditions de croissance spécifiques (théorème de Carlson). Pour une fonction $f \in \mathcal{E}$ , la somme de Ramanujan est définie par :
$\mathcal{R}\sum_{n \ge 1} f(n) = \frac{f(1)}{2} + i \int_0^{+\infty} \frac{f(1+it) - f(1-it)}{e^{2\pi t} - 1} dt$
Il est démontré que pour $\Re(s) > 1$ , $\mathcal{R}\sum n^{-s} = \zeta(s) - \frac{1}{s-1}$ , et que cette relation s'étend par prolongement analytique à tout $s \in \mathbb{C} \setminus \{1\}$ .

B. Transformation de Mellin et Polynômes $P_m(s)$

L'expansion repose sur la transformation de Mellin de fonctions impliquant les polynômes de Laguerre $L_m(x)$ .
L'auteur introduit une famille de polynômes $P_m(s)$ définis par la relation génératrice :
$\frac{2}{1-\xi} \left(\frac{1-\xi}{1+\xi}\right)^s = \sum_{m=0}^{+\infty} P_m(s) \xi^m$
Ces polynômes sont liés à la transformée de Mellin de $x \mapsto e^{-x}L_m(2x)$ :
$\Gamma(s)P_m(s) = 2 \int_0^{+\infty} e^{-x}L_m(2x) x^{s-1} dx$

C. Inversion de la Somme et Convergence

En appliquant la formule génératrice à $z=n$ (entiers), on obtient une relation formelle pour $\sum n^{-s}$ . L'auteur prouve rigoureusement que, pour $0 < \Re(s) < 1$ , on peut inverser l'ordre de sommation (somme sur $n$ et somme sur $m$ ) en utilisant la somme de Ramanujan pour la série divergente en $n$ . Cela conduit à l'expansion :
$\zeta(s) = \sum_{m=0}^{+\infty} x_m P_m(s)$
où les coefficients $x_m$ sont calculés explicitement.

3. Résultats Clés

A. Expression des Coefficients $x_m$

Les coefficients de l'expansion sont donnés par des combinaisons linéaires rationnelles de la constante d'Euler-Mascheroni $\gamma$ et des valeurs $\zeta(k+1)$ .
Pour $m \ge 1$ :
$x_m = \gamma + \sum_{k=1}^m \binom{m}{k} (-2)^k \zeta(k+1) + r_m$
où $r_m$ est un nombre rationnel explicite. Pour $m=0$ , $x_0 = \gamma - 1$ .

B. Propriété des Racines et Orthogonalité

C'est le résultat le plus significatif concernant la structure géométrique de l'expansion. L'auteur définit les polynômes normalisés :
$Q_m(t) = \frac{1}{2} P_m\left(\frac{1}{2} + it\right)$
Il démontre que la suite $(Q_m)_{m \ge 0}$ forme un système orthonormé complet dans l'espace de Hilbert $L^2\left(\mathbb{R}, \frac{dt}{\cosh(\pi t)}\right)$ .
Conséquence majeure : Les racines de chaque polynôme $P_m(s)$ sont toutes situées sur la ligne critique $\Re(s) = 1/2$ .

C. Développement Orthonormé de $\zeta(s)$

Dans la bande critique, la fonction $\zeta(1/2 + it)$ admet un développement en série de Fourier généralisé (série de polynômes orthogonaux) :
$\zeta\left(\frac{1}{2} + it\right) = 2 \sum_{m=0}^{+\infty} x_m Q_m(t)$
Ce développement est convergent au sens de la norme $L^2$ par rapport au poids $1/\cosh(\pi t)$ .

D. Identité Intégrale

En utilisant la propriété de Parseval et une évaluation formelle via la sommation de Ramanujan, l'auteur établit une identité remarquable reliant l'intégrale du carré de la fonction zêta sur la ligne critique à des constantes fondamentales :
$\frac{1}{2} \int_{-\infty}^{+\infty} \left| \zeta\left(\frac{1}{2} + it\right) \right|^2 \frac{dt}{\cosh(\pi t)} = \log(2\pi) - \gamma - \frac{1}{2}$

4. Contributions et Signification

Nouvelle Approche Analytique : L'article fournit une nouvelle représentation de $\zeta(s)$ dans la bande critique, distincte des développements classiques de Newton ou de Taylor, en exploitant la structure des polynômes de Laguerre via la transformation de Mellin.
Lien avec la Hypothèse de Riemann (Structurelle) : Bien que l'article ne prouve pas l'Hypothèse de Riemann, il démontre que les polynômes utilisés pour approximer $\zeta(s)$ dans cette expansion possèdent toutes leurs racines sur la ligne critique. Cela offre un cadre polynomial intéressant pour étudier la distribution des zéros de $\zeta(s)$ .
Unification des Concepts : L'article relie de manière élégante la sommation de Ramanujan (généralement utilisée pour les séries divergentes) à l'analyse spectrale de la fonction zêta, permettant de calculer des constantes comme $\gamma$ et $\zeta(k)$ via des intégrales sur la ligne critique.
Outils pour l'Analyse Numérique : La convergence de la série $\sum x_m P_m(s)$ et l'orthogonalité des $Q_m(t)$ pourraient offrir de nouvelles méthodes pour le calcul numérique de $\zeta(s)$ ou l'estimation de ses moments.

En résumé, cet article propose une généralisation profonde de la théorie des polynômes orthogonaux appliquée à la fonction zêta, offrant une nouvelle perspective sur la structure de $\zeta(s)$ dans la bande critique et renforçant les liens entre la théorie des nombres et l'analyse fonctionnelle.