A new expansion of the Riemann zeta function

A continuación presento un resumen técnico detallado del artículo "A new expansion of the Riemann's zeta function" de B. Candelpergher, traducido y estructurado en español.

1. Problema y Contexto

El artículo aborda la búsqueda de nuevas representaciones del función zeta de Riemann ($\zeta(s)$), específicamente en la franja crítica donde $0 < \Re(s) < 1$.

Existen expansiones previas basadas en:

• La fórmula de interpolación de Newton (usando constantes de Stieltjes o combinaciones de $\zeta(k)$).
• Expansiones en series de potencias alrededor de $s=1$.

El objetivo del autor es introducir una nueva familia de polinomios ortogonales $P_m(s)$, cuyas raíces se encuentran exactamente en la línea crítica $\Re(s) = 1/2$, y utilizarlos para desarrollar una serie convergente que represente a $\zeta(s)$ en la franja crítica. Esta expansión conecta la teoría de números analítica con la teoría de polinomios ortogonales (específicamente polinomios de Laguerre) y la suma de series divergentes.

2. Metodología

El enfoque metodológico del artículo se basa en tres pilares fundamentales:

A. Transformada de Mellin y Polinomios de Laguerre

El autor define una secuencia de polinomios $P_m(s)$ a través de la transformada de Mellin de funciones que involucran polinomios de Laguerre $L_m(x)$.
La relación fundamental es:
$$\Gamma(s)P_m(s) = 2 \int_0^{+\infty} e^{-x} L_m(2x) x^{s-1} dx$$
Estos polinomios surgen naturalmente al aplicar la transformada de Mellin a la función generadora de los polinomios de Laguerre, obteniendo una expansión de $z^{-s}$ en términos de $P_m(s)$.

B. Suma de Ramanujan

Dado que la expansión inicial de $z^{-s}$ conduce a una serie que, al evaluarla en enteros, resulta divergente, el autor utiliza la suma de Ramanujan ($\mathcal{R}\sum$) para regularizar estas series.

• Se define la suma de Ramanujan para una función $f$ en un espacio analítico específico ($\mathcal{E}$) mediante una fórmula que involucra integrales complejas (fórmula de Plana).
• Se demuestra que para $s \neq 1$, la suma regularizada de la serie armónica generalizada satisface:
  $$\mathcal{R}\sum_{n \ge 1} \frac{1}{n^s} = \zeta(s) - \frac{1}{s-1}$$
  Esto permite conectar la serie divergente formalmente con la función zeta analítica continuada.

C. Interpolación y Ortogonalidad

El autor construye una base de polinomios $P_m(s)$ y demuestra que, al evaluarlos en la línea crítica $s = 1/2 + it$, forman un sistema ortonormal completo en el espacio de Hilbert $L^2(\mathbb{R}, \frac{dt}{\cosh(\pi t)})$.

3. Contribuciones Clave y Resultados Principales

A. Nueva Expansión de $\zeta(s)$

El resultado central es la siguiente expansión convergente para $0 < \Re(s) < 1$:
$$\zeta(s) = \sum_{m=0}^{+\infty} x_m P_m(s)$$
Donde los coeficientes $x_m$ son combinaciones lineales con coeficientes racionales de la constante de Euler-Mascheroni ($\gamma$) y los valores de la función zeta en enteros positivos $\zeta(2), \zeta(3), \dots, \zeta(m+1)$.

La fórmula explícita para los coeficientes es:
$$x_m = \gamma + \sum_{k=1}^{m} \binom{m}{k} (-2)^k \zeta(k+1) + r_m$$
Siendo $r_m$ un número racional definido por una suma finita.

B. Propiedades de los Polinomios $P_m(s)$

• Raíces en la Línea Crítica: Se demuestra que todas las raíces del polinomio $P_m(s)$ se encuentran en la recta $\Re(s) = 1/2$. Esto es una consecuencia directa de que los polinomios transformados $Q_m(t) = \frac{1}{2}P_m(1/2 + it)$ forman un sistema ortonormal en un espacio de funciones reales.
• Relación con Funciones Hipergeométricas: Los polinomios se relacionan con la función hipergeométrica de Gauss: $P_m(s) = 2F(-m, s, 1, 2)$.

C. Identidades Integrales y Normas

El artículo establece una conexión profunda entre los coeficientes de la expansión y la norma de la función zeta en la línea crítica. Se obtiene la siguiente identidad formal (evaluada mediante suma de Ramanujan):
$$\frac{1}{2} \int_{-\infty}^{+\infty} \left| \zeta\left(\frac{1}{2} + it\right) \right|^2 \frac{dt}{\cosh(\pi t)} = \log(2\pi) - \gamma - \frac{1}{2}$$
Esta fórmula proporciona un valor exacto para la "energía" de la función zeta ponderada por una medida hiperbólica.

D. Cálculo de Coeficientes Específicos

El autor calcula los primeros coeficientes de la expansión, mostrando cómo dependen de $\gamma$ y los valores de $\zeta$:

• $x_1 = \gamma - 2\zeta(2) + 3$
• $x_2 = \gamma - 4\zeta(2) + 4\zeta(3) + 1$
• $x_3 = \gamma - 6\zeta(2) + 12\zeta(3) - 8\zeta(4) + 11/3$

4. Significado e Impacto

1. Nueva Perspectiva en la Hipótesis de Riemann: Aunque no prueba la Hipótesis de Riemann, el hecho de que los polinomios de aproximación $P_m(s)$ tengan todas sus raíces en la línea crítica sugiere una estructura profunda y estable en la aproximación de $\zeta(s)$ mediante estos polinomios ortogonales.
2. Unificación de Conceptos: El trabajo une de manera elegante la teoría de números (suma de Ramanujan, valores de $\zeta$), análisis complejo (transformada de Mellin, continuación analítica) y análisis funcional (sistemas ortonormales en espacios de Hilbert).
3. Herramienta Computacional y Analítica: La expansión proporciona una nueva serie convergente para calcular $\zeta(s)$ en la franja crítica, donde las series de Dirichlet estándar divergen y las fórmulas funcionales pueden ser numéricamente inestables.
4. Nuevas Identidades Integrales: La obtención de la integral del módulo cuadrado de $\zeta(1/2+it)$ ponderado por $1/\cosh(\pi t)$ es un resultado novedoso que podría tener aplicaciones en la teoría espectral y la física matemática.

En resumen, el artículo presenta una descomposición espectral de la función zeta de Riemann en una base de polinomios ortogonales cuyas propiedades geométricas (raíces en la línea crítica) reflejan la naturaleza fundamental de la función zeta en la franja crítica.