Navier-Stokes-Cahn-Hilliard system in a $3$D perforated domain with free slip and source term: Existence and homogenization

Titolo

Sistema Navier-Stokes-Cahn-Hilliard in un dominio perforato 3D con scorrimento libero e termini sorgente: Esistenza e omogeneizzazione

1. Introduzione e Contesto del Problema

Il documento studia un modello a interfaccia diffusa per miscele binarie incomprimibili in un mezzo poroso periodicamente perforato. Il sistema fisico è descritto dalle equazioni di Navier-Stokes-Cahn-Hilliard (NSCH) poste nel dominio dei pori $\Omega^\varepsilon_p \subset \mathbb{R}^3$.

Le caratteristiche distintive del modello microscopico includono:

• Viscosità variabile: Un tensore di viscosità $A^\varepsilon$ che dipende dalla geometria microscopica.
• Termini sorgente non conservativi: L'equazione di Cahn-Hilliard include un termine sorgente $G(\phi^\varepsilon)$ (ad esempio, reazioni chimiche o forzanti esterne), che rompe la conservazione della massa.
• Condizioni al contorno miste:
  • Sul bordo esterno $\partial\Omega$: condizione di no-slip (velocità nulla).
  • Sulla superficie delle inclusioni solide $\Gamma^\varepsilon_s$: condizione di scorrimento di Navier con sforzo tangenziale nullo (scorrimento libero o free-slip), ovvero $u^\varepsilon \cdot n^\varepsilon = 0$ e $(A^\varepsilon D(u^\varepsilon)n^\varepsilon) \cdot \tau^\varepsilon = 0$.
• Forza capillare: Il termine di Korteweg $\lambda_\varepsilon \phi^\varepsilon \nabla \mu^\varepsilon$ modella le forze di tensione superficiale, dove la forza capillare $\lambda_\varepsilon$ dipende dalla scala microscopica $\varepsilon$.

L'obiettivo principale è analizzare l'esistenza di soluzioni deboli per $\varepsilon$ fissato e derivare i modelli macroscopici efficaci (omogeneizzati) nel limite $\varepsilon \to 0$, considerando diversi regimi per la forza capillare.

2. Metodologia e Strumenti Analitici

L'analisi si articola in due fasi principali:

A. Esistenza e Stime A Priori (Fase Microscopica)

Per ogni $\varepsilon > 0$, viene dimostrata l'esistenza di una soluzione debole su un intervallo di tempo finito $(0, T)$.

• Formulazione Debole: Viene definita in spazi di Sobolev adattati alla geometria perforata, tenendo conto delle condizioni di scorrimento libero.
• Stime Uniformi: Vengono derivate stime a priori uniformi rispetto a $\varepsilon$ e $\lambda_\varepsilon$. Una sfida tecnica significativa è la presenza del termine sorgente $G(\phi^\varepsilon)$, che impedisce la conservazione della massa. Di conseguenza, la media spaziale della concentrazione non è costante nel tempo né nulla, rendendo inapplicabile la classica disuguaglianza di Poincaré-Wirtinger. Gli autori superano questo ostacolo stimando direttamente la media spaziale $\bar{\phi}^\varepsilon$ e utilizzando operatori di estensione e restrizione.
• Strumenti Chiave:
  • Operatore di Bogovski˘ı: Costruito sia sul dominio fluido $\Omega^\varepsilon_p$ che su quello solido $\Omega^\varepsilon_s$ per gestire la pressione e le funzioni di test con media nulla.
  • Operatori di Estensione: Estensioni lineari uniformi delle funzioni dal dominio perforato al dominio completo $\Omega$ (sia per il campo scalare che per quello vettoriale solenoidale).
  • Schema di Galerkin: Utilizzato per provare l'esistenza della soluzione, basato su autofunzioni di tipo Stokes adattate alle condizioni di scorrimento libero.

B. Omogeneizzazione (Limite $\varepsilon \to 0$)

Per derivare i modelli macroscopici, viene utilizzata la tecnica dell'operatore di srotolamento periodico (periodic unfolding operator) $T^\varepsilon$, adattato ai domini perforati.

• Si assume che la forza capillare $\lambda_\varepsilon$ converga a un limite $\lambda \in [0, +\infty)$.
• La forza esterna $g^\varepsilon$ scala come $\sqrt{\lambda_\varepsilon}$ per bilanciare le forze nel limite.
• Vengono analizzati due casi distinti in base al valore di $\lambda$.

3. Risultati Principali

Il lavoro produce due modelli efficaci distinti a seconda del regime di capillarità:

Caso 1: Regime di Capillarità Vanishing ($\lambda = 0$)

Quando la forza capillare tende a zero, il sistema limite è di tipo Stokes-Cahn-Hilliard (SCH).

• Equazioni: Il termine convettivo non lineare $(u \cdot \nabla)u$ nell'equazione della quantità di moto e il termine advettivo $u \cdot \nabla \phi$ nell'equazione di trasporto del campo di fase scompaiono.
• Significato: In questo regime, le forze capillari sono troppo deboli per generare trasporto macroscopico significativo attraverso effetti interfacciali. Il flusso è dominato dalla viscosità e dalle forze esterne, comportandosi come un flusso di Stokes.
• Struttura: Il sistema risultante è lineare nella parte convettiva e descrive un fluido in un mezzo poroso omogeneo macroscopicamente con tensori efficaci ($A^{hom}, B^{hom}, C^{hom}$).

Caso 2: Regime Bilanciato ($\lambda \in (0, +\infty)$)

Quando la forza capillare è finita e non nulla, il sistema limite è di tipo Navier-Stokes-Cahn-Hilliard (NSCH).

• Equazioni: Il sistema mantiene sia il termine convettivo non lineare $(u \cdot \nabla)u$ che il termine advettivo $u \cdot \nabla \phi$.
• Coefficiente: Entrambi i termini sono moltiplicati per $\sqrt{\lambda}$. Questo indica che la forza capillare compete con la viscosità e che il movimento dell'interfaccia può indurre flussi apprezzabili a scala macroscopica.
• Significato: Questo è il caso più generale e fisicamente rilevante per flussi bifase in mezzi porosi dove l'interazione tra tensione superficiale e inerzia è significativa.

Convergenza dell'Energia

Viene dimostrata la convergenza dell'energia libera microscopica totale verso un funzionale energetico omogeneizzato. L'energia totale del sistema macroscopico soddisfa una legge di dissipazione analoga a quella microscopica, confermando la consistenza termodinamica del modello derivato.

4. Contributi Chiave e Novità

1. Trattamento delle Condizioni di Scorrimento Libero: A differenza della maggior parte della letteratura che assume condizioni di no-slip sulle inclusioni solide, questo lavoro gestisce rigorosamente le condizioni di scorrimento di Navier con sforzo tangenziale nullo, che richiedono spazi funzionali e operatori di estensione specifici.
2. Termini Sorgente Non Conservativi: Il modello include un termine sorgente $G(\phi)$ che rompe la conservazione della massa. Questo richiede una trattazione analitica innovativa per gestire la media spaziale della concentrazione, che non è più costante, permettendo di ottenere stime uniformi senza assumere la conservazione della massa.
3. Dipendenza dalla Scala della Viscosità: Il tensore di viscosità è variabile e dipende dalla geometria microscopica, gestito attraverso l'omogeneizzazione periodica.
4. Transizione di Regime: Il lavoro identifica chiaramente come il comportamento macroscopico cambi qualitativamente (da Stokes a Navier-Stokes) in funzione dell'intensità relativa della forza capillare $\lambda$.
5. Rigore Matematico: Viene fornita una prova completa di esistenza per il sistema microscopico in 3D con condizioni al contorno miste, seguita da una derivazione rigorosa dei modelli omogeneizzati, superando le limitazioni delle espansioni asintotiche formali spesso usate in letteratura.

5. Significato e Implicazioni

Questo studio estende la teoria dell'omogeneizzazione per modelli a interfaccia diffusa (phase-field) a contesti più realistici e complessi. Le applicazioni includono:

• Recupero avanzato di petrolio: Modellazione del flusso di fluidi immiscibili in rocce porose.
• Biologia e Idrogel: Dinamica dei fluidi in tessuti biologici e scaffold dove avvengono reazioni chimiche (termini sorgente).
• Materiali Compositi: Studio della separazione di fase in materiali strutturati.

La capacità di derivare modelli macroscopici che includono sia la convezione non lineare che l'advezione del campo di fase, tenendo conto di condizioni di scorrimento e sorgenti di massa, fornisce uno strumento fondamentale per la simulazione numerica efficiente di processi multifase complessi senza dover risolvere la scala microscopica.