Navier-Stokes-Cahn-Hilliard system in a $3$D perforated domain with free slip and source term: Existence and homogenization

Resumen Técnico: Sistema NSCH en Dominios Perforados con Deslizamiento Libre y Término Fuente

1. Planteamiento del Problema

El artículo estudia un modelo de interfaz difusa para una mezcla binaria incompresible en un medio poroso periódico tridimensional. El sistema físico se describe mediante las ecuaciones acopladas de Navier-Stokes-Cahn-Hilliard (NSCH) en un dominio fluido perforado $\Omega^\varepsilon_p \subset \mathbb{R}^3$, donde $\varepsilon$ representa la escala microscópica del periodo de la estructura porosa.

Características clave del modelo microscópico:

• Ecuaciones:
  • Momento (Navier-Stokes): Incluye un tensor de viscosidad variable $A^\varepsilon$ (dependiente de la geometría microscópica), un término de fuerza capilar de tipo Korteweg ($\lambda_\varepsilon \phi^\varepsilon \nabla \mu^\varepsilon$) y fuerzas externas $g^\varepsilon$.
  • Conservación de masa (Cahn-Hilliard): Ecuación de transporte convectivo para el parámetro de orden $\phi^\varepsilon$, acoplada con el potencial químico $\mu^\varepsilon$. Se introduce un término fuente no conservativo $G(\phi^\varepsilon)$ (bi-Lipschitz), que rompe la conservación de la masa global, un caso más general que los modelos estándar.
  • Potencial químico: Relación constitutiva $\mu^\varepsilon = -\Delta \phi^\varepsilon + F'(\phi^\varepsilon)$, donde $F$ es un potencial de doble pozo suave.
• Condiciones de Frontera Mixtas:
  • Frontera externa ($\partial \Omega$): Condición de no deslizamiento ($u^\varepsilon = 0$).
  • Interfaz sólido-fluido ($\Gamma^\varepsilon_s$): Condición de deslizamiento libre (free slip) o deslizamiento de Navier con tensión tangencial cero: $u^\varepsilon \cdot n^\varepsilon = 0$ y $(A^\varepsilon D(u^\varepsilon)n^\varepsilon) \cdot \tau^\varepsilon = 0$. Esto permite que el fluido se deslice sin fricción sobre las inclusiones sólidas.
• Escalamiento de Capilaridad: La fuerza de capilaridad $\lambda_\varepsilon$ depende de $\varepsilon$ y converge a un límite $\lambda \in [0, +\infty)$. La fuerza externa se escala como $g^\varepsilon \sim \sqrt{\lambda_\varepsilon} g$.

2. Metodología

El análisis se divide en dos etapas principales: la existencia de soluciones para un $\varepsilon$ fijo y el proceso de homogeneización cuando $\varepsilon \to 0$.

A. Existencia y Estimaciones A Priori (Sección 5):

• Formulación Débil: Se define una solución débil en espacios de funciones adaptados a la geometría perforada ($U^\varepsilon, C^\varepsilon, W^\varepsilon$).
• Herramientas Analíticas:
  • Se construyen operadores de Bogovskiĭ tanto para el dominio fluido como para el dominio sólido, con normas uniformes independientes de $\varepsilon$.
  • Se utilizan operadores de extensión y restricción para manejar campos definidos en dominios variables.
  • Se establecen desigualdades de Korn, Poincaré y Poincaré-Wirtinger con constantes uniformes en $\varepsilon$.
• Desafío del Término Fuente: Debido a que $G(\phi^\varepsilon) \neq 0$, la masa total no se conserva. Esto impide el uso directo de la desigualdad de Poincaré-Wirtinger estándar. Los autores derivan estimaciones uniformes para la media espacial $\bar{\phi}^\varepsilon$ utilizando el crecimiento lineal de $G$ y el lema de Grönwall.
• Existencia: Se prueba la existencia de soluciones débiles mediante un esquema de Galerkin basado en autofunciones de tipo Stokes adaptadas a las condiciones de frontera de deslizamiento libre. Se utilizan estimaciones de energía y el teorema de compacidad de Aubin-Lions-Simon para pasar al límite en la aproximación.

B. Homogeneización (Sección 6):

• Herramienta Principal: Se emplea el operador de despliegue periódico (periodic unfolding operator) $T^*_\varepsilon$, adaptado a dominios perforados, para derivar sistemas de dos escalas.
• Convergencia: Se establecen convergencias débiles y fuertes para los campos extendidos ($u^\varepsilon, \phi^\varepsilon, \mu^\varepsilon$) y sus gradientes, identificando campos macroscópicos y correctores microscópicos ($\hat{u}, \hat{\phi}, \hat{\mu}$).
• Análisis de Casos: El sistema homogeneizado resultante depende críticamente del límite $\lambda = \lim_{\varepsilon \to 0} \lambda_\varepsilon$.

3. Contribuciones Clave y Resultados Principales

El trabajo establece dos modelos efectivos distintos dependiendo del régimen de capilaridad:

Caso 1: Capilaridad Desvanecida ($\lambda = 0$)

• Modelo Resultante: Sistema de tipo Stokes-Cahn-Hilliard (SCH).
• Características:
  • La ecuación de momento carece del término convectivo no lineal $(u \cdot \nabla)u$.
  • La ecuación de transporte de fase carece del término advectivo $u \cdot \nabla \phi$.
  • El flujo macroscópico es puramente viscoso (creeping flow) impulsado por fuerzas de cuerpo y fuerzas capilares homogeneizadas.
  • Se obtienen tensores efectivos ($A^{hom}, B^{hom}, C^{hom}$) mediante problemas de celda.

Caso 2: Régimen Balanceado ($\lambda \in (0, +\infty)$)

• Modelo Resultante: Sistema completo Navier-Stokes-Cahn-Hilliard (NSCH) homogeneizado.
• Características:
  • Aparecen términos no lineales macroscópicos: convección de momento $\sqrt{\lambda}(u \cdot \nabla)u$ y transporte advectivo de fase $\sqrt{\lambda} u \cdot \nabla \phi$.
  • La intensidad de estos términos no lineales es proporcional a $\sqrt{\lambda}$, lo que indica que la fuerza capilar microscópica es lo suficientemente fuerte para generar flujos macroscópicos significativos que compiten con la viscosidad.
  • Se mantiene la estructura de los tensores efectivos del caso anterior, pero acoplados a la dinámica no lineal.

Convergencia de Energía:

• Se demuestra que la energía total microscópica, escalada adecuadamente, converge a la energía del sistema macroscópico homogeneizado, satisfaciendo una ley de disipación análoga.

4. Significado e Impacto

• Generalización de Modelos: Este trabajo extiende la teoría de homogeneización para modelos de interfaz difusa más allá de las condiciones de no deslizamiento (no-slip) y de la conservación estricta de masa. La inclusión de condiciones de deslizamiento libre es crucial para modelar fenómenos en superficies hidrofóbicas o interfaces complejas donde la fricción es despreciable.
• Tratamiento de Fuentes No Conservativas: El manejo riguroso del término fuente $G(\phi)$, que rompe la conservación de masa, es una novedad analítica importante, permitiendo modelar reacciones químicas o procesos de crecimiento en medios porosos.
• Transición de Regímenes: El artículo proporciona un marco unificado que explica cómo la escala relativa de la tensión superficial determina si el flujo macroscópico es puramente difusivo/viscoso (Stokes) o si desarrolla inercia y convección (Navier-Stokes).
• Rigor Matemático: La prueba de existencia de soluciones débiles en dominios perforados con condiciones de frontera mixtas y viscosidad variable, seguida de una homogeneización rigurosa, llena un vacío en la literatura matemática sobre flujos multifásicos en medios porosos.

En resumen, el artículo ofrece una fundamentación teórica sólida para simular y entender el transporte de fluidos multifásicos en medios porosos complejos, conectando la micro-física de la interfaz con la macro-dinámica del flujo, considerando efectos de deslizamiento y reacciones químicas.