Navier-Stokes-Cahn-Hilliard system in a $3$D perforated domain with free slip and source term: Existence and homogenization

Resumo Técnico: Sistema NSCH em Domínios Perfurados com Deslizamento Livre e Termo Fonte

1. Problema Investigado

O artigo estuda o comportamento de uma mistura binária incompressível em um meio poroso periódico tridimensional ($\Omega^\varepsilon_p \subset \mathbb{R}^3$). O modelo físico é descrito pelo sistema Navier-Stokes-Cahn-Hilliard (NSCH) acoplado, que combina a dinâmica de fluidos com a evolução de interfaces difusas entre fases.

As características distintivas do problema são:

• Geometria: Um domínio perfurado com inclusões sólidas periódicas ($\Gamma^\varepsilon_s$).
• Viscosidade: Um tensor de viscosidade variável ($A^\varepsilon$) que depende da geometria microscópica.
• Termo Fonte: A presença de um termo fonte não conservativo ($G(\phi^\varepsilon)$) na equação de Cahn-Hilliard, representando reações químicas ou efeitos de volume que alteram a massa total da fase.
• Condições de Contorno Mistas:
  • Parede externa ($\partial\Omega$): Condição de não-deslizamento (no-slip).
  • Superfície das inclusões sólidas ($\Gamma^\varepsilon_s$): Condição de deslizamento livre (Navier slip com tensão tangencial zero), onde a velocidade normal é nula, mas a tensão tangencial desaparece.
• Força de Capilaridade: A força de Korteweg ($\lambda_\varepsilon \phi^\varepsilon \nabla \mu^\varepsilon$) depende de um parâmetro de escala $\lambda_\varepsilon > 0$.

O objetivo principal é provar a existência de soluções fracas para o sistema microscópico e realizar a homogeneização periódica quando a escala microscópica $\varepsilon \to 0$, derivando modelos efetivos macroscópicos.

2. Metodologia

A análise é dividida em duas partes principais:

A. Existência e Estimativas A Priori (Escala Microscópica Fixa $\varepsilon$)

• Formulação Fraca: Definição de espaços de funções adaptados à geometria perfurada, considerando as condições de contorno de deslizamento livre.
• Ferramentas Analíticas:
  • Uso de operadores de Bogovskiĭ tanto no domínio fluido quanto no domínio sólido para lidar com a restrição de divergência nula e a pressão.
  • Construção de operadores de extensão (primal e dual) que permitem estender as variáveis do domínio perfurado para o domínio macroscópico completo com normas uniformes em relação a $\varepsilon$.
  • Desigualdades de Korn, Poincaré e Poincaré-Wirtinger com constantes independentes de $\varepsilon$.
• Prova de Existência: Utilização de um esquema de Galerkin baseado em autofunções do tipo Stokes adaptadas às condições de contorno de deslizamento. A existência global no tempo é garantida através de estimativas de energia uniformes e o lema de Grönwall, evitando explosão em tempo finito.
• Tratamento do Termo Fonte: O termo $G(\phi)$ quebra a conservação de massa. O artigo demonstra como controlar a média espacial da concentração e do potencial químico, derivando estimativas uniformes mesmo sem conservação de massa.

B. Homogeneização (Limite $\varepsilon \to 0$)

• Ferramenta Principal: O operador de desdobramento periódico (periodic unfolding operator) $T^*_\varepsilon$, adaptado para domínios perfurados, é utilizado para derivar o sistema de duas escalas.
• Convergência: Estabelecimento da convergência fraca e forte das variáveis estendidas (velocidade, fase, potencial químico e pressão) para campos macroscópicos e corretores microscópicos.
• Análise de Regimes: O comportamento do limite depende do valor de $\lambda = \lim_{\varepsilon \to 0} \lambda_\varepsilon$. O artigo analisa dois casos distintos:
  1. Regime de Capilaridade Desaparecente ($\lambda = 0$): A força capilar é fraca em relação à escala macroscópica.
  2. Regime Balanceado ($\lambda \in (0, +\infty)$): A força capilar compete com a viscosidade e a inércia.

3. Resultados Principais

1. Existência de Solução Fraca:
Foi provada a existência de uma solução fraca $(u^\varepsilon, \phi^\varepsilon, \mu^\varepsilon)$ para o sistema NSCH em domínios perfurados com viscosidade variável e termo fonte, satisfazendo leis de dissipação de energia uniformes em relação a $\varepsilon$.

2. Modelos Efetivos Macroscópicos (Homogeneização):
O artigo deriva dois sistemas efetivos distintos dependendo de $\lambda$:

• Caso $\lambda = 0$ (Regime de Escoamento Creep/Stokes):

  • O sistema limite é do tipo Stokes-Cahn-Hilliard (SCH).
  • Características: Não há termos convectivos macroscópicos ($u \cdot \nabla u$) nem termos advectivos na equação da fase ($u \cdot \nabla \phi$). O transporte é dominado pela difusão e pela força de capilaridade homogeneizada.
  • Equações: Um sistema acoplado de Stokes para o momento e Cahn-Hilliard para a fase, com tensores efetivos ($A^{hom}, B^{hom}, C^{hom}$) calculados via problemas de célula.

• Caso $\lambda \in (0, +\infty)$ (Regime Balanceado):

  • O sistema limite é do tipo Navier-Stokes-Cahn-Hilliard (NSCH).
  • Características: Surgem termos não lineares de convecção e advecção macroscópica, ponderados por $\sqrt{\lambda}$. A inércia do fluido e o transporte da fase são significativos.
  • Equações: O sistema mantém a estrutura completa do NSCH, mas com coeficientes efetivos que capturam a média da microestrutura. A força de capilaridade macroscópica é proporcional a $\sqrt{\lambda}$.

3. Convergência de Energia:
Foi estabelecida a convergência da energia total microscópica para um funcional de energia homogeneizado, satisfazendo uma lei de dissipação análoga à do sistema microscópico.

4. Contribuições Chave e Inovações

• Condições de Contorno de Deslizamento Livre: Diferente da maioria dos trabalhos anteriores que assumem condições de não-deslizamento (no-slip) nas inclusões sólidas, este trabalho trata rigorosamente o deslizamento livre (tensão tangencial zero), o que exige técnicas específicas de extensão e operadores de Bogovskiĭ adaptados.
• Termo Fonte Não Conservativo: O tratamento de um termo fonte $G(\phi)$ que viola a conservação de massa é uma inovação significativa. A maioria das análises de Cahn-Hilliard assume conservação de massa; este trabalho supera essa limitação, provando estimativas uniformes mesmo quando a média da concentração varia no tempo.
• Viscosidade Variável: A consideração de um tensor de viscosidade que oscila rapidamente com a geometria do poro, em vez de uma viscosidade constante.
• Dualidade de Regimes: A derivação unificada de dois modelos macroscópicos distintos (Stokes vs. Navier-Stokes) a partir do mesmo sistema microscópico, dependendo apenas da escala relativa da força de capilaridade ($\lambda$).

5. Significado e Impacto

Este trabalho preenche uma lacuna importante na teoria de homogeneização para modelos de interface difusa em meios porosos.

• Aplicações Práticas: Os resultados são relevantes para modelagem de recuperação avançada de petróleo, remediação de águas subterrâneas, e processos em hidrogéis e scaffolds biológicos, onde o deslizamento nas interfaces sólido-líquido e reações químicas (termo fonte) são comuns.
• Fundamento Teórico: Fornece uma base matemática rigorosa para modelos macroscópicos usados em simulações de engenharia, justificando quando é necessário incluir termos inerciais (NSCH) e quando modelos de Stokes são suficientes.
• Generalização: Estende a teoria de homogeneização para cenários mais realistas e complexos, superando as restrições de conservação de massa e condições de contorno rígidas encontradas na literatura anterior.

Em resumo, o artigo estabelece um marco analítico rigoroso para a dinâmica de fluidos multifásicos em meios porosos complexos, conectando a escala microscópica detalhada a modelos macroscópicos eficientes e fisicamente consistentes.