Navier-Stokes-Cahn-Hilliard system in a $3$D perforated domain with free slip and source term: Existence and homogenization

1. Probleemstelling en Context

Het paper onderzoekt een diffuus-interface model voor een binaire, onsamendrukbare vloeistofmengsel dat stroomt door een periodiek geperforeerd poreus medium in drie dimensies ($\mathbb{R}^3$). Het systeem wordt beschreven door een tijdsafhankelijke Navier-Stokes-Cahn-Hilliard (NSCH) vergelijking, gedefinieerd op het poreuze domein $\Omega^\varepsilon_p$.

De specifieke kenmerken van het microscopische model zijn:

• Variabele viscositeit: De viscositeitstensor $A^\varepsilon$ hangt af van de microscopische geometrie.
• Niet-conservatieve bronterm: De Cahn-Hilliard-vergelijking bevat een bronterm $G(\phi^\varepsilon)$, wat betekent dat er geen behoud van massa is voor de concentratie (ordeparameter).
• Gemengde randvoorwaarden:
  • Op de buitenrand $\partial\Omega$: Geen-slip ($u=0$).
  • Op het oppervlak van de vaste inclusions $\Gamma^\varepsilon_s$: Navier-slip met nul tangentiële spanning (vrije slip), wat betekent dat de vloeistof kan glijden zonder wrijving langs de vaste wanden.
• Capillariteitssterkte: De parameter $\lambda_\varepsilon$ (die de sterkte van de capillaire krachten bepaalt) hangt af van de microscopische schaal $\varepsilon$.

Het doel is tweeledig:

1. Het bewijzen van het bestaan van zwakke oplossingen voor een vast $\varepsilon > 0$ en het afleiden van uniforme a priori-schattingen.
2. Het uitvoeren van periodieke homogenisatie in de limiet $\varepsilon \to 0$ om effectieve macroscopische modellen af te leiden.

2. Methodologie

De analyse is verdeeld in twee hoofdonderdelen:

A. Existentie en A Priori Schattingen (Voor vast $\varepsilon$)

• Zwakke Formulering: Het probleem wordt geformuleerd in geschikte Sobolev-ruimten die rekening houden met de divergentievrijheid en de specifieke randvoorwaarden (Navier-slip).
• Bogovski˘ı-Operatoren: Een cruciaal onderdeel is de constructie van Bogovski˘ı-operatoren (inversen van de divergentie) voor zowel het poreuze domein $\Omega^\varepsilon_p$ als het vaste domein $\Omega^\varepsilon_s$. Deze operatoren hebben normen die onafhankelijk zijn van $\varepsilon$, wat essentieel is voor uniforme schattingen.
• Uitbreidingsoperatoren: Er worden lineaire operatoren geconstrueerd om de oplossingen (snelheid, ordeparameter) van het perforated domein naar het volledige domein $\Omega$ uit te breiden, terwijl de $H^1$-normen uniform begrensd blijven.
• Energie-estimates: Door testfuncties te kiezen (snelheid en chemisch potentiaal), wordt een energie-dissipatielaw afgeleid. Een belangrijke uitdaging is de aanwezigheid van de bronterm $G(\phi)$, die de behoudswet voor massa doorbreekt. De auteurs bewijzen dat de ruimtelijke gemiddelden van de concentratie en het chemisch potentiaal toch uniform begrensd blijven via Gronwall's ongelijkheid.
• Existentiebewijs: Het bestaan van een zwakke oplossing wordt bewezen met een Galerkin-benadering op basis van Stokes-type eigenfuncties die aan de randvoorwaarden voldoen. De uniforme schattingen garanderen dat er geen "finite-time blow-up" optreedt.

B. Homogenisatie ($\varepsilon \to 0$)

• Periodieke Ontvouwingsoperator (Unfolding Operator): De methode van de periodieke ontvouwingsoperator ($T^\varepsilon$) wordt gebruikt om de twee-schaal limiet af te leiden. Dit maakt het mogelijk om zowel macroscopische ($x$) als microscopische ($y = x/\varepsilon$) variaties tegelijkertijd te analyseren.
• Schalingsanalyse: De limiet hangt af van de schaal van de capillariteitssterkte $\lambda_\varepsilon$. Er wordt aangenomen dat $\lambda_\varepsilon \to \lambda \in [0, +\infty)$. De externe kracht $g^\varepsilon$ en de initiële snelheid worden geschaald met $\sqrt{\lambda_\varepsilon}$ om een niet-triviale limiet te verkrijgen.
• Twee Casus:
  1. $\lambda = 0$ (Verdwijnende capillariteit): De capillaire krachten zijn verwaarloosbaar op macroscopische schaal.
  2. $\lambda \in (0, +\infty)$ (Gebalanceerde regime): Capillariteit en viscositeit concurreren, wat leidt tot een volledig niet-lineair stromingsmodel.

3. Belangrijkste Resultaten

Resultaat 1: Existentie van Zwakke Oplossingen

Het paper bewijst het bestaan van een unieke zwakke oplossing $(u^\varepsilon, \phi^\varepsilon, \mu^\varepsilon)$ voor het NSCH-systeem in een perforated domein met vrije slip en een bronterm. De oplossing voldoet aan uniforme energie-schattingen die onafhankelijk zijn van $\varepsilon$ en $\lambda_\varepsilon$.

Resultaat 2: Homogenisatie en Effectieve Modellen

Afhankelijk van de limietwaarde $\lambda$, worden twee verschillende effectieve macroscopische modellen afgeleid:

• Geval I: $\lambda = 0$ (Stokes-Cahn-Hilliard Systeem)
  In dit regime verdwijnen de convectieve termen. Het resulterende systeem is van het Stokes-Cahn-Hilliard (SCH) type:

  • De impulsvergelijking bevat geen convectieterm $(u \cdot \nabla)u$.
  • De faseveldvergelijking bevat geen advectieterm $u \cdot \nabla \phi$.
  • Het systeem wordt gedomineerd door viskeuze dissipatie en capillaire krachten (die nu lineair gekoppeld zijn).
  • De effectieve tensors ($A^{hom}, B^{hom}, C^{hom}$) worden bepaald door celproblemen.

• Geval II: $\lambda \in (0, +\infty)$ (Navier-Stokes-Cahn-Hilliard Systeem)
  In dit regime behoudt het systeem zijn volledige niet-lineariteit. Het resultaat is een Navier-Stokes-Cahn-Hilliard (NSCH) systeem op macroscopische schaal:

  • De impulsvergelijking bevat de convectieterm $\sqrt{\lambda}(u \cdot \nabla)u$.
  • De faseveldvergelijking bevat de advectieterm $\sqrt{\lambda} u \cdot \nabla \phi$.
  • De sterkte van deze convectie en advectie wordt direct bepaald door de macroscopische capillariteitssterkte $\sqrt{\lambda}$. Dit betekent dat interfaciale thermodynamische gradiënten in staat zijn om waarneembare stromingen op macroscopische schaal te genereren.

Resultaat 3: Energie Convergentie

Het paper toont aan dat de microscopische vrije energie convergeert naar een gehomogeniseerde energiefunctionaal die voldoet aan een analoog dissipatielaw. De totale energie van het macroscopische systeem is evenredig met het volume van de poreuze cel.

4. Significantie en Nieuwheid

De bijdrage van dit werk is significant voor de wiskundige fysica en de theorie van vloeistofstroming in poreuze media:

1. Rigoureuze Homogenisatie van NSCH: Terwijl veel eerdere werken homogenisatie benaderden via heuristische asymptotische expansies, biedt dit paper een rigoureuze wiskundige afleiding van het homogenisatieproces voor het volledige tijdsafhankelijke NSCH-systeem.
2. Behandeling van Niet-Conservatieve Bronnen: De analyse van een systeem met een bronterm $G(\phi)$ (die massabehoud doorbreekt) is uniek. Dit vereist nieuwe technieken om de gemiddelde waarden van de concentratie en het chemisch potentiaal te controleren, aangezien de standaard Poincaré-Wirtinger ongelijkheid hier niet direct toepasbaar is.
3. Randvoorwaarden met Vrije Slip: De toepassing van Navier-slip met nul wrijving op de poreuze wanden (in plaats van de gebruikelijke no-slip) vereist specifieke aanpassingen in de constructie van testfuncties en uitbreidingsoperatoren.
4. Overgang tussen Regimes: Het paper identificeert en karakteriseert de overgang tussen een Stokes-achtig regime en een volledig Navier-Stokes-regime op basis van de schaal van de capillariteitskrachten. Dit biedt inzicht in wanneer interfaciale effecten stroming kunnen aandrijven op macroscopische schaal.
5. Toepassingsgebied: De resultaten zijn relevant voor processen zoals grondwaterremediatie, versterkte oliewinning, en het ontwerp van polymeer- en composietmaterialen waar fase-scheiding en stroming in poreuze structuren gecombineerd optreden.

Kortom, dit werk legt een stevige theoretische basis voor het modelleren van complexe tweefasenstromingen in poreuze media, waarbij zowel de microscopische geometrie als de thermodynamische krachten op een consistente manier worden meegenomen.