Number of $K$-rational points with given $j$-invariant on modular curves

1. Il Problema

L'articolo affronta il problema di determinare il numero di punti razionali su una curva modulare $X_H$ (definita su un campo numerico $K$) che hanno un dato invariante $j$ fissato $j_0 \in K$.
In termini più concreti, l'autore studia la cardinalità dell'insieme:
$$\{x \in X_H(K) \mid j(x) = j_0\}$$
dove $H$ è un sottogruppo di $GL_2(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})$.
Il focus principale è su due casi specifici:

1. Isogenie cicliche: Determinare quanti isogeni ciclici di grado $n$ può ammettere una curva ellittica definita su un campo numerico. Questo corrisponde al calcolo dei punti su $X_0(n)$ con un dato $j$.
2. Punti su curve di Cartan: Calcolare il numero di punti sopra un invariante $j$ sulle curve modulari associate ai sottogruppi di Cartan (split e non-split) e ai loro normalizzatori, in particolare per potenze di primi dispari $p^k$.

Il lavoro è puramente teorico-gruppo: non cerca di classificare quali campi numerici o curve ellittiche realizzano certi numeri, ma determina l'insieme di tutti i valori possibili che il numero di tali punti può assumere.

2. Metodologia

L'approccio metodologico si basa sulla teoria delle rappresentazioni di Galois e sulla teoria dei gruppi finiti.

• Rappresentazione di Galois: Per una curva ellittica $E/K$, si considera l'immagine della rappresentazione di Galois mod $N$, $\rho_{E,N}(G_K)$, come un sottogruppo $R$ di $GL_2(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})$.
• Condizione di Razionalità: Un punto sulla curva modulare $X_H$ (rappresentato da una classe di coppie $(E, \alpha)$, dove $\alpha$ è una struttura di livello) è $K$-razionale se e solo se l'immagine di Galois $R$ è contenuta nel prodotto $H \cdot A$, dove $A$ è l'immagine del gruppo di automorfismi di $E$ nella stessa base.
• Conteggio tramite Doppie Coseni: Il numero di punti razionali con un dato $j$-invariante è calcolato contando il numero di basi (o classi di equivalenza) che soddisfano la condizione di razionalità. La formula fondamentale (Proposizione 2.2) esprime questo numero come una somma su $GL_2(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})$ che dipende dalle doppie coset $HgA$:
  $$\sum_{g \in GL_2(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})} \frac{\mathbb{1}_{\{gRg^{-1} \subseteq HgA\}}}{\#(HgA)}$$
• Analisi Combinatoria: Per i casi specifici ($X_0(p^k)$, $X_s(p^k)$, $X_{ns}(p^k)$), l'autore riduce il problema all'analisi di sistemi di equazioni lineari e quadratiche su anelli $\mathbb{Z}/p^k\mathbb{Z}$, classificando le soluzioni in base alla valuazione $p$-adica degli elementi delle matrici del sottogruppo $R$.
• Punti CM (Complex Multiplication): Per i punti con CM, l'autore utilizza i risultati di Lozano-Robledo sulle immagini delle rappresentazioni di Galois per curve con CM, che sono contenute in sottogruppi di Cartan o nei loro normalizzatori.

3. Contributi Chiave e Risultati

A. Numero di Isogenie Cicliche ($X_0(n)$)

L'autore determina l'insieme completo dei possibili numeri di isogenie cicliche di grado $n$ per curve ellittiche su campi numerici.

• Caso $n=p^k$ (p primo dispari): Il numero di isogenie di grado $p^k$ definiti su $K$ appartiene all'insieme:
  $$\{0\} \cup \{p^j \mid 0 \le j < k\} \cup \{2p^j \mid 0 \le j < k\} \cup \{p^k + p^{k-1}\}$$
  Ogni valore in questo insieme è realizzabile.
• Caso $n=2^k$: Il numero di isogenie di grado $2^k$ appartiene a:
  $$\{0\} \cup \{2^m \mid 1 \le m \le k\} \cup \{2^k + 2^{k-1}\}$$
• Generalizzazione: Per un intero $n$ qualsiasi, il numero di isogenie è il prodotto dei numeri possibili per le potenze dei primi che compongono $n$ (Corollario 3.7).
• Proprietà di "Fissazione": Viene dimostrato che, a differenza del caso $k=1$ (dove 3 punti fissi implicano tutti i $p+1$ punti), per $k>1$ non vale più la regola semplice. Tuttavia, se una matrice in $PGL_2(\mathbb{Z}/p^k\mathbb{Z})$ fissa tre punti le cui riduzioni modulo $p$ sono distinte, allora fissa tutti i punti (Proposizione 3.10).

B. Curve di Cartan e Normalizzatori

L'articolo calcola i possibili numeri di punti sopra un $j$-invariante per le curve modulari associate ai sottogruppi di Cartan:

• Cartan Split ($C_s(p^k)$): L'insieme dei possibili valori è $\{0, p^{2k} + p^{2k-1}\} \cup \{2p^{2j} \mid 0 \le j < k\}$.
• Cartan Non-Split ($C_{ns}(p^k)$): L'insieme dei possibili valori è $\{0\} \cup \{2p^{2j} \mid 0 \le j < k\} \cup \{p^{2k} - p^{2k-1}\}$.
• Normalizzatori ($N_s(p^k)$ e $N_{ns}(p^k)$): Vengono determinati insiemi complessi di valori possibili che dipendono dalla congruenza di $p$ modulo 4 e 8, includendo casi specifici per piccoli primi. Questi risultati sono cruciali per la congettura di uniformità di Serre.

C. Algoritmo per Punti CM Razionali

Viene proposto un algoritmo semplice e implementabile per determinare il numero di punti CM razionali su una curva modulare arbitraria $X_H$.

• L'algoritmo utilizza i teoremi di Lozano-Robledo per identificare l'immagine di Galois $R$ (contenuta in un normalizzatore di Cartan) e il gruppo di automorfismi $A$.
• Calcola quindi il numero di classi di doppie coset che soddisfano la condizione di razionalità.
• Un'implementazione di questo algoritmo è disponibile su GitHub e si dimostra più efficiente dei metodi precedenti basati sul calcolo diretto delle preimmagini della mappa $j$.

4. Significato e Implicazioni

1. Classificazione delle Isogenie: Il lavoro risolve un problema aperto sulla classificazione dei gradi di isogenie cicliche su campi numerici, fornendo una lista completa e verificabile dei numeri possibili, andando oltre i risultati classici su $\mathbb{Q}$ (Mazur, Kenku).
2. Congettura di Serre: I risultati sulle curve di Cartan e i loro normalizzatori sono direttamente rilevanti per la congettura di uniformità di Serre. Poiché le immagini delle rappresentazioni di Galois per curve con CM sono contenute in questi sottogruppi, la comprensione delle loro strutture aiuta a delimitare i casi eccezionali nella congettura.
3. Strumento Computazionale: L'algoritmo per i punti CM offre un metodo efficiente per verificare la completezza delle liste di punti razionali su curve modulari, un problema computazionalmente difficile che spesso richiede tecniche avanzate di geometria aritmetica.
4. Approccio Teorico-Gruppo: Dimostra che molte questioni aritmetiche profonde sulle curve modulari possono essere ridotte a problemi di teoria dei gruppi finiti (azione su $\mathbb{Z}/N\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/N\mathbb{Z}$), permettendo una trattazione sistematica e indipendente dal campo numerico specifico.

In sintesi, il paper fornisce una mappa completa delle possibilità combinatorie per i punti razionali su curve modulari con invariante $j$ fissato, collegando la teoria delle rappresentazioni di Galois, la struttura dei sottogruppi di $GL_2$ e le proprietà aritmetiche delle curve ellittiche.