Number of $K$-rational points with given $j$-invariant on modular curves

이 논문은 모듈러 곡선 (Modular Curves) 위에서 주어진 $j$-불변량 (j-invariant) 을 갖는 $K$-유리점 ($K$-rational points) 의 개수를 계산하는 방법을 연구하고, 이를 응용하여 타원곡선의 순환 $n$-등형 (cyclic $n$-isogenies) 의 개수와 카르탄 (Cartan) 모듈러 곡선 위의 점의 개수 분포를 규명합니다.

저자 Ivan Novak 은 이 문제를 군론적 관점에서 접근하여, 갈루아 표현 (Galois representation) 의 상 (image) 을 분석함으로써 가능한 점의 개수들의 집합을 완전히 분류합니다.

주요 내용은 다음과 같습니다.

1. 연구 문제 (Problem)

• 핵심 질문: 임의의 수체 (number field) $K$와 모듈러 곡선 $X_H$ (여기서 $H$는 $GL_2(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})$의 부분군) 가 주어졌을 때, $j(x) = j_0$를 만족하는 $K$-유리점 $x$의 개수는 어떤 값을 가질 수 있는가?
• 배경: 타원곡선의 등형 (isogeny) 분류는 수론의 중요한 주제입니다. 특히, $X_0(n)$ 위의 유리점은 $n$-등형의 존재와 직결됩니다. Mazur 와 Kenku 는 $\mathbb{Q}$ 위의 $n$-등형 가능한 차수를 분류했으나, 일반적인 수체 $K$나 $n$이 합성수인 경우, 혹은 $j$-불변량이 고정된 경우의 점 개수 분포는 완전히 규명되지 않았습니다.
• 목표: 특정 $j$-불변량을 갖는 타원곡선이 가질 수 있는 $n$-등형의 개수 (즉, $X_0(n)$ 위의 점 개수) 의 가능한 모든 값의 집합을 결정하는 것.

2. 방법론 (Methodology)

저자는 모듈러 곡선 위의 유리점 개수 문제를 군론적 (group-theoretic) 문제로 환원하여 해결합니다.

• 갈루아 표현과 점의 조건:

  • 타원곡선 $E/K$와 $N$-차원 갈루아 표현 $\rho_{E,N}: G_K \to GL_2(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})$의 상 $R$을 고려합니다.
  • $X_H$ 위의 점 $(E, \alpha)$가 $K$-유리점이 되기 위한 필요충분조건은, 모든 $\sigma \in G_K$에 대해 $\rho_{E,N}(\sigma)$가 $H$와 $E$의 자기동형군 (Aut(E)) 의 작용 $A$로 생성된 집합 $H \cdot A$에 속하는 것과 동치임을 보입니다.
  • 구체적으로, $K$-유리점의 개수는 다음 식으로 계산됩니다:
    $$\frac{\#\{g \in GL_2(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}) \mid gRg^{-1} \subseteq H\}}{\#H}$$
    (단, $j=0, 1728$인 경우 자기동형군의 크기를 고려하여 보정합니다.)

• 계산 전략:

  • $N=p^k$ (소수의 거듭제곱) 인 경우를 먼저 분석합니다.
  • $R$이 $GL_2(\mathbb{Z}/p^k\mathbb{Z})$의 어떤 부분군일 때, 위 식의 값이 가질 수 있는 모든 가능한 정수들을 $p$-진valuation ($v_p$) 을 사용하여 체계적으로 분류합니다.
  • 특히, $B_0(p^k)$ (상삼각행렬 군), $C_s(p^k)$ (분해 가능한 카르탄 군), $C_{ns}(p^k)$ (비분해 가능한 카르탄 군) 및 이들의 정규화군 (normalizers) 에 대해 가능한 점 개수 집합 $S(H)$를 구합니다.

3. 주요 결과 (Key Results)

A. $p^k$-등형의 개수 (Proposition 1.1, 1.2, 3.1, 3.6)

타원곡선 $E/K$가 가질 수 있는 $p^k$-등형의 개수는 다음과 같은 집합에 속합니다.

• 홀수 소수 $p$의 경우:
  $$\{0\} \cup \{p^j \mid 0 \le j < k\} \cup \{2p^j \mid 0 \le j < k\} \cup \{p^k + p^{k-1}\}$$
  • 예: $p=3, k=1$일 때 가능한 개수는 $\{0, 1, 2, 4\}$입니다.
• 소수 $p=2$의 경우:
  $$\{0\} \cup \{2^m \mid 1 \le m \le k\} \cup \{2^k + 2^{k-1}\}$$
• 일반적인 $n$의 경우 (Corollary 3.7):
  $n = \prod p_i^{e_i}$일 때, 가능한 $n$-등형의 개수는 각 소인수 $p_i^{e_i}$에 대한 가능한 개수들의 곱으로 이루어진 집합입니다.

B. 점의 개수 증가에 대한 관계 (Proposition 3.8)

$E$가 $p^k$-등형 $m$개를 가질 때, $p^{k+1}$-등형의 개수는 어떤 값이 될 수 있는지에 대한 조건을 제시합니다. 예를 들어, $p^k + p^{k-1}$개의 $p^k$-등형을 가지는 곡선은 $p^{k+1}$-등형으로 $0, p^k, 2p^k, p^{k+1}+p^k$개 중 하나를 가질 수 있습니다.

C. 카르탄 모듈러 곡선 (Proposition 4.4 ~ 4.8)

카르탄 부분군 $C_s(p^k), C_{ns}(p^k)$ 및 그 정규화군 $N_s(p^k), N_{ns}(p^k)$에 대응하는 모듈러 곡선 위의 점 개수 분포를 계산했습니다.

• 분해 가능한 카르탄 ($C_s$): $\{0, p^{2k} + p^{2k-1}\} \cup \{2p^{2j}\}$ 형태의 값이 가능합니다.
• 비분해 가능한 카르탄 ($C_{ns}$): $\{0\} \cup \{2p^{2j}\} \cup \{p^{2k} - p^{2k-1}\}$ 형태의 값이 가능합니다.
• 정규화군 ($N_s, N_{ns}$): $p \pmod 4$나 $p \pmod 8$의 조건에 따라 추가적인 값들 (예: 2, 3 등) 이 가능해집니다.

D. CM 점에 대한 알고리즘 (Section 5)

• Lozano-Robledo 의 결과 활용: CM (복소곱) 을 갖는 타원곡선의 갈루아 표현 상이 특정 카르탄 군의 정규화군에 포함됨을 이용합니다.
• 알고리즘: 주어진 $j$-불변량 (CM 점) 에 대해, 해당 타원곡선의 갈루아 표현 상 $R$과 자기동형군 $A$를 구한 후, Section 2 의 공식을 적용하여 모듈러 곡선 $X_H$ 위의 유리 CM 점의 개수를 계산하는 간단한 알고리즘을 제시했습니다.
• 구현: 이 알고리즘은 GitHub 에 구현되어 있으며, 기존 방법보다 계산 효율이 뛰어납니다.

4. 의의 및 기여 (Significance)

1. 이론적 완결성: $n$-등형의 개수 문제에서 $n$이 소수일 때의 고전적 결과 (0, 1, 2, $p+1$) 를 합성수 $n$과 고차 $p^k$로 일반화하여, 가능한 점의 개수 집합을 완전히 분류했습니다.
2. 군론적 접근의 정립: 모듈러 곡선 위의 점 개수 문제를 갈루아 표현의 상과 군의 이중 잉여류 (double coset) 문제로 체계화하여, 다양한 모듈러 곡선 유형에 대해 일관된 계산 프레임워크를 제공했습니다.
3. 실용적 도구: CM 점의 개수를 계산하는 효율적인 알고리즘을 개발하여, 실제 계산 (예: $X_0(88)$ 위의 점 계산) 에서 기존 방법보다 훨씬 빠른 성능을 보임을 입증했습니다.
4. Serre 의 균일성 추측과의 연관성: 카르탄 군과 그 정규화군은 Serre 의 균일성 추측 (Serre's uniformity conjecture) 과 밀접한 관련이 있어, 이 연구는 해당 추측의 부분적 진전과 관련된 갈루아 표현의 구조를 이해하는 데 기여합니다.

요약하자면, 이 논문은 모듈러 곡선 위의 유리점 분포에 대한 이론적 분류와 계산적 알고리즘을 동시에 제공하여, 타원곡선의 등형 이론과 갈루아 표현 연구에 중요한 기여를 하고 있습니다.