Number of $K$-rational points with given $j$-invariant on modular curves

Titel en Doelstelling

Het artikel onderzoekt hoe men het aantal $K$-rationele punten met een gegeven $j$-invariant kan berekenen op een willekeurige modulaire kromme $X_H$. Hierbij is $K$ een getallenlichaam en $H$ een ondergroep van $GL_2(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})$.

De hoofddoelstelling is niet om specifieke elliptische krommen of getallenlichamen te classificeren waarvoor een bepaald aantal punten optreedt, maar om puur groep-theoretisch de mogelijke kardinaliteiten van de verzameling
$$\{x \in X_H(K) \mid j(x) = j_0\}$$
bepalen. Een directe toepassing hiervan is het bepalen van de lijst van mogelijke aantallen cyclische $n$-isogenieën die een elliptische kromme over een getallenlichaam kan bezitten.

Methodologie

De auteur hanteert een benadering die de theorie van modulaire krommen koppelt aan de actie van de Galois-groep op de $N$-torsiepunten van elliptische krommen.

1. Modulaire Krommen en Rationale Punten:
   Een punt op $X_H$ correspondeert met een paar $(E, \alpha)$, waarbij $E$ een elliptische kromme is en $\alpha$ een $H$-niveaustructuur (een equivalentieklasse van basissen voor $E[N]$). Een punt is $K$-rationeel als het invariant is onder de actie van de Galois-groep $G_K$.
   Dit leidt tot een voorwaarde voor een basis $(P, Q)$: voor elke $\sigma \in G_K$ moet er een automorfisme $\phi$ van $E$ en een element $h \in H$ bestaan zodanig dat de actie van $\sigma$ op de basis overeenkomt met $h \cdot \phi$.

2. Galois-afbeeldingen en Dubbele Coset:
   Laat $\rho_{E,N}$ de mod-$N$ Galois-afbeelding zijn. De auteur toont aan dat het aantal rationale punten met een vaste $j$-invariant $j_0$ gelijk is aan het aantal dubbele cosetten $HgA$ (waarbij $A$ de afbeelding is van de automorfismen van $E$) waarvoor de geconjugeerde Galois-afbeelding $gRg^{-1}$ een deelgroep is van $H$.
   De formule die wordt afgeleid (Propositie 2.2) is:
   $$\# \{x \in X_H(K) \mid j(x)=j_0\} = \sum_{g \in GL_2(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})} \frac{\mathbb{1}_{\{gRg^{-1} \subseteq HgA\}}}{\#(HgA)}$$
   Voor $j_0 \neq 0, 1728$ vereenvoudigt dit tot het tellen van cosetten $Hg$ waarvoor $gRg^{-1} \subseteq H$.

3. Specifieke Subgroepen:
   De analyse wordt toegepast op specifieke subgroepen van $GL_2(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})$:

   • $B_0(N)$: De groep van bovenste driehoeksmatrices (corresponderend met $X_0(N)$ en $n$-isogenieën).
   • Cartan-subgroepen ($C_s, C_{ns}$) en hun normalisatoren ($N_s, N_{ns}$): Deze corresponderen met Cartan-modulaire krommen.

4. Algoritme voor CM-punten:
   Voor elliptische krommen met Complex Multiplicatie (CM) worden resultaten van Lozano-Robledo gebruikt om de exacte vorm van de Galois-afbeelding te bepalen. Dit maakt het mogelijk een efficiënt algoritme te ontwerpen om het aantal rationale CM-punten te tellen.

Belangrijkste Resultaten

1. Aantal $p^k$-isogenieën (Proposities 1.1, 1.2, 3.1, 3.6)

De auteur bepaalt de mogelijke aantallen cyclische $p^k$-isogenieën voor een elliptische kromme over een getallenlichaam $K$.

• Voor oneven priemgetallen $p$: Het aantal isogenieën behoort tot de verzameling:
  $$\{0\} \cup \{p^j \mid 0 \le j < k\} \cup \{2p^j \mid 0 \le j < k\} \cup \{p^k + p^{k-1}\}$$
  Dit generaliseert het klassieke resultaat voor $k=1$ (waar het aantal 0, 1, 2 of $p+1$ is).
• Voor $p=2$: Het aantal isogenieën behoort tot:
  $$\{0\} \cup \{2^m \mid 1 \le m \le k\} \cup \{2^k + 2^{k-1}\}$$
  De auteur bewijst dat elk getal in deze lijsten bereikt kan worden door een geschikte keuze van $K$ en $E$.

2. Relatie tussen $p^k$ en $p^{k+1}$ isogenieën (Propositie 3.8)

Er wordt een relatie gelegd tussen het aantal $p^k$-isogenieën en het mogelijke aantal $p^{k+1}$-isogenieën. Als een kromme bijvoorbeeld $2p^j$ isogenieën van graad $p^k$ heeft, kan het aantal isogenieën van graad $p^{k+1}$ beperkt zijn tot een specifieke subset van de mogelijke waarden.

3. Veralgemening van het "drie punten"-principe (Propositie 3.10)

Voor $k=1$ geldt dat als een lineaire transformatie drie punten op $\mathbb{P}^1(\mathbb{F}_p)$ fixeert, deze alle punten fixeert. De auteur bewijst een veralgemening voor $k > 1$: als een matrix in $PGL_2(\mathbb{Z}/p^k\mathbb{Z})$ drie punten fixeert die onder modulair $p$ reduceren tot drie verschillende punten, dan fixeert deze matrix alle punten op $\mathbb{P}^1(\mathbb{Z}/p^k\mathbb{Z})$. Dit impliceert dat als een elliptische kromme drie $p^k$-isogenieën heeft met triviale snijpunten, ze alle $p^k + p^{k-1}$ isogenieën bezit.

4. Resultaten voor Cartan-krommen (Hoofdstuk 4)

Voor Cartan-subgroepen en hun normalisatoren worden de mogelijke aantallen punten boven een $j$-invariant bepaald. Deze lijsten zijn complexer en afhankelijk van de congruentie van $p$ modulo 4 en 8.

• Voor de gesplitste Cartan $C_s(p^k)$ zijn de mogelijke aantallen: $\{0, p^{2k} + p^{2k-1}\} \cup \{2p^{2j}\}$.
• Voor de niet-gesplitste Cartan $C_{ns}(p^k)$ en hun normalisatoren worden uitgebreide lijsten afgeleid die afhankelijk zijn van kwadratische karakters.

5. Algoritme voor CM-punten (Hoofdstuk 5)

De auteur presenteert een eenvoudig algoritme (beschikbaar op GitHub) om het aantal rationale CM-punten op een willekeurige modulaire kromme te berekenen.

• Input: Een rationele $j$-invariant (met bijbehorende kwadratische orde), het niveau $N$ en de ondergroep $H$.
• Methode: Gebruik maken van de specifieke structuur van de Galois-afbeelding voor CM-krommen (volgens Lozano-Robledo) om de dubbele cosetten te tellen.
• Voorbeeld: Het algoritme berekent in minder dan een seconde het aantal kwadratische punten op $X_0(88)$ boven specifieke $j$-invarianten, terwijl eerdere methoden (gebaseerd op het berekenen van de pre-afbeelding van de $j$-kaart) aanzienlijk trager waren.

Significantie en Toepassing

• Classificatie van Isogenieën: Het werk biedt een volledige classificatie van de mogelijke aantallen cyclische isogenieën voor elke graad $n$ over getallenlichamen, wat een verrijking is van het werk van Mazur en Kenku (die zich beperkten tot $\mathbb{Q}$ en graad $n$).
• Efficiëntie: De gepresenteerde methoden en het algoritme voor CM-punten bieden een aanzienlijke verbetering in rekenefficiëntie ten opzichte van bestaande technieken, wat cruciaal is voor het bestuderen van modulaire krommen met hoge niveau's.
• Serre's Uniformiteitsvermoeden: De resultaten zijn relevant voor Serre's uniformiteitsvermoeden. Het vermoeden stelt dat voor $p > 37$ de Galois-afbeelding ofwel surjectief is ofwel geconjugeerd is aan de normalisator van de niet-gesplitste Cartan. De analyse van de punten op Cartan-krommen helpt bij het begrijpen van de uitzonderlijke gevallen in dit vermoeden.
• Groeps-theoretische Zuiverheid: De benadering is puur groep-theoretisch, wat betekent dat de resultaten onafhankelijk zijn van specifieke eigenschappen van getallenlichamen, zolang de Galois-afbeelding maar binnen de beschouwde subgroepen valt.

Kortom, dit artikel levert een fundamentele bijdrage aan het begrip van de structuur van rationale punten op modulaire krommen en biedt krachtige gereedschappen voor het tellen van isogenieën en CM-punten.