Number of $K$-rational points with given $j$-invariant on modular curves

Resumen Técnico: Número de puntos K-racionales con un j-invariante dado en curvas modulares

1. Planteamiento del Problema

El objetivo central del artículo es determinar cómo calcular el número de puntos K-racionales (donde $K$ es un cuerpo de números) en una curva modular arbitraria $X_H$, restringidos a aquellos puntos que poseen un j-invariante específico $j_0 \in K$.

El problema se enmarca en la teoría de curvas modulares asociadas a subgrupos $H$ de $GL_2(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})$. Específicamente, el autor busca la cardinalidad del conjunto:
$$\{x \in X_H(K) \mid j(x) = j_0\}$$
A diferencia de trabajos anteriores que intentan clasificar los cuerpos de números o las curvas elípticas específicas para las cuales se alcanzan ciertos conteos, este trabajo es puramente teórico-grupal. No se fija en cuerpos específicos, sino que determina todos los valores posibles que puede tomar dicha cardinalidad al variar el cuerpo $K$ y la curva elíptica $E/K$.

Un caso particular de gran interés es el estudio de las isogenías cíclicas de grado $n$. El número de isogenías de grado $n$ definidas sobre $K$ para una curva elíptica $E$ corresponde al número de puntos en la curva modular $X_0(n)$ con j-invariante $j(E)$.

2. Metodología

La metodología se basa en el análisis de la acción del grupo de Galois y la teoría de representaciones modulares.

• Representación de Galois: Se utiliza la representación de Galois mod $N$, denotada como $\rho_{E,N}: G_K \to GL_2(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})$. La imagen de esta representación, $R = \rho_{E,N}(G_K)$, determina la estructura de los puntos racionales.
• Condición de Racionalidad: Un punto en la curva modular (representado por una clase de pares $(E, \alpha)$, donde $\alpha$ es una estructura de nivel $H$) es $K$-racional si y solo si la imagen de Galois $R$ está contenida en el conjunto de matrices que preservan la estructura de nivel módulo la acción de los automorfismos de $E$ ($A$).
• Fórmula Combinatoria: El autor deriva una fórmula para contar estos puntos basándose en el número de bases de $E[N]$ que satisfacen ciertas condiciones de inclusión de grupos. La fórmula clave (Proposición 2.2) expresa el número de puntos como una suma sobre clases laterales dobles:
  $$\sum_{g \in GL_2(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})} \frac{\mathbb{1}_{\{gRg^{-1} \subseteq H \cdot A\}}}{\#(HgA)}$$
  Donde $H$ es el subgrupo que define la curva modular y $A$ es la imagen de los automorfismos de $E$.
• Análisis de Casos Específicos: Se analizan casos donde $N = p^k$ (potencias de primos) y se estudian subgrupos específicos como los de Cartan (divididos y no divididos) y sus normalizadores.

3. Contribuciones Clave y Resultados Principales

El artículo establece listas completas de valores posibles para el número de puntos racionales en varios contextos:

A. Isogenías Cíclicas de Grado $p^k$ (Proposiciones 1.1 y 1.2)
El autor determina exactamente qué números de isogenías de grado $p^k$ puede tener una curva elíptica sobre un cuerpo de números:

• Para $p$ primo impar: El número de isogenías de grado $p^k$ pertenece al conjunto:
  $$\{0\} \cup \{p^j \mid 0 \le j < k\} \cup \{2p^j \mid 0 \le j < k\} \cup \{p^k + p^{k-1}\}$$
  Esto generaliza el resultado clásico para $k=1$ (donde solo existen 0, 1, 2 o $p+1$ isogenías).
• Para $p=2$: El conjunto de valores posibles es:
  $$\{0\} \cup \{2^m \mid 1 \le m \le k\} \cup \{2^k + 2^{k-1}\}$$
• Transición de grado: Se estudia cómo el número de isogenías de grado $p^{k+1}$ depende del número de isogenías de grado $p^k$ (Proposición 3.8), estableciendo restricciones sobre qué valores pueden seguir a otros.

B. Curvas Modulares de Cartan y sus Normalizadores (Sección 4)
Se calculan los posibles números de puntos sobre un j-invariante fijo para curvas asociadas a subgrupos de Cartan:

• Subgrupo de Cartan Dividido ($C_s(p^k)$): Los valores posibles son $\{0, p^{2k} + p^{2k-1}\} \cup \{2p^{2j} \mid 0 \le j < k\}$.
• Normalizador de Cartan Dividido ($N_s(p^k)$): El conjunto de valores es más complejo, involucrando términos que dependen de si $-1$ es un residuo cuadrático módulo $p$.
• Subgrupo de Cartan No Dividido ($C_{ns}(p^k)$) y su Normalizador ($N_{ns}(p^k)$): Se derivan fórmulas similares pero con estructuras distintas debido a la naturaleza de los subgrupos no divididos.

C. Algoritmo para Puntos CM Racionales (Sección 5)
El autor combina sus resultados con teoremas previos de Lozano-Robledo sobre las imágenes de Galois de curvas elípticas con Multiplicación Compleja (CM).

• Resultado: Se diseña un algoritmo simple y eficiente para determinar el número de puntos racionales CM en cualquier curva modular $X_H$.
• Mecanismo: El algoritmo utiliza la estructura específica de la imagen de Galois para curvas CM (que está contenida en un subgrupo de Cartan normalizado $N_{\delta, \phi}(N)$) y aplica las fórmulas de conteo de la Sección 2.
• Implementación: Se menciona una implementación disponible en GitHub que es significativamente más rápida que los métodos anteriores basados en el cálculo de mapas $j$ y preimágenes.

4. Significado e Impacto

• Generalización de Resultados Clásicos: El trabajo resuelve la generalización del problema de isogenías para grados compuestos ($n$ no primo), un problema que era mucho más difícil que el caso de grado primo debido a la falta de clasificación completa de puntos de grado $d > 1$ en curvas modulares.
• Herramienta para la Conjetura de Uniformidad de Serre: Los resultados sobre las imágenes de Galois en subgrupos de Cartan y sus normalizadores son relevantes para la conjetura de uniformidad de Serre, que postula que para $p > 37$, la imagen de la representación de Galois es todo $GL_2(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ o conjugada al normalizador de un Cartan no dividido.
• Eficiencia Computacional: La propuesta de un algoritmo basado en teoría de grupos para contar puntos CM ofrece una ventaja computacional masiva sobre los métodos geométricos tradicionales (cálculo de mapas modulares), permitiendo verificar casos en tiempos de milisegundos en lugar de minutos u horas.
• Fundamento Teórico: Proporciona una base teórica sólida para entender la estructura de los puntos racionales en curvas modulares, separando la dependencia del cuerpo de números de la dependencia puramente algebraica de los subgrupos de Galois.

En conclusión, el artículo transforma un problema geométrico-aritmético complejo en un problema de teoría de grupos finito, permitiendo la clasificación completa de las posibilidades de conteo de puntos racionales con un j-invariante dado para una amplia gama de curvas modulares.