Local-in-time strong solvability of Navier--Stokes type variational inequalities by Rothe's method

Sintesi Tecnica: Solvibilità Forte Locale nel Tempo di Disuguaglianze Variazionali di Tipo Navier–Stokes mediante il Metodo di Rothe

Enunciato del Problema
Il documento affronta l'esistenza e l'unicità di soluzioni forti locali nel tempo per una classe di disuguaglianze variazionali paraboliche in un contesto di spazio di Hilbert. Il problema è formulato come la ricerca di una funzione $u: [0, T] \to V$ tale che $u(0) = u_0$ e, per quasi ogni $t \in (0, T)$, valga la seguente disuguaglianza per ogni $v \in V$:
$$(\partial_t u(t), v - u(t)) + a(u(t), v - u(t)) + \langle B(u(t), u(t)), v - u(t) \rangle + \varphi(v) - \varphi(u(t)) \geq (f(t), v - u(t))$$
Qui, $V \subset H \subset V'$ è una tripla di Gelfand. Il termine $a(\cdot, \cdot)$ rappresenta una forma bilineare limitata e coercitiva associata a un operatore lineare $A$. Il termine $B: V \times V \to V'$ è una non linearità di "tipo Navier–Stokes" (un operatore bilineare limitato), e $\varphi: V \to (-\infty, +\infty]$ è un funzionale convesso, proprio e semicontinuo inferiore, che rappresenta non linearità monotone (ad esempio, vincoli di ostacolo o condizioni al contorno di attrito).

La sfida principale affrontata è la mancanza della standard "proprietà di cancellazione" $\langle B(u, v), v \rangle = 0$, che è tipicamente richiesta nell'analisi delle equazioni di Navier–Stokes per derivare stime di energia. L'assenza di questa proprietà deriva da applicazioni che coinvolgono condizioni al contorno più ampie, come le condizioni di confine di tipo perdita (LBCF), dove l'impermeabilità non è strettamente imposta o la pressione non è prescritta.

Metodologia
L'autore impiega il metodo di Rothe (discretizzazione temporale) invece del metodo di Galerkin (discretizzazione spaziale). L'approccio prevede:

1. Discretizzazione Semi-implicita: Viene costruito uno schema di passo temporale in cui il termine di convezione $B$ è trattato semi-implicitamente. Nello specifico, la velocità di convezione è presa dal passo temporale precedente ($u_{n-1}$), mentre la soluzione $u_n$ compare implicitamente nel secondo argomento di $B$ e nel termine monotone $\varphi$. Ciò contrasta con gli schemi completamente impliciti o quelli che richiedono la troncatura della non linearità.
2. Analisi di Tipo Oseen Stazionaria: Ad ogni passo temporale, il problema si riduce alla risoluzione di una disuguaglianza variazionale stazionaria di tipo Oseen. La solvibilità e la regolarità di questi problemi stazionari sono stabilite utilizzando la teoria degli operatori pseudo-monotoni e specifiche ipotesi di regolarità.
3. Stime A Priori: Vengono derivate stime uniformi per le soluzioni discrete. Fondamentalmente, la derivazione di queste stime richiede di restringere l'intervallo temporale a un tempo di esistenza locale $T^* < T$ per controllare la crescita dei termini non lineari in assenza della proprietà di cancellazione.
4. Passaggio al Limite: Quando il passo temporale $\Delta t \to 0$, si utilizzano argomenti di compattezza (teorema di Aubin–Lions) e tecniche di convergenza debole per passare al limite, recuperando una soluzione forte del problema continuo.

Assunzioni e Ipotesi Chiave
Il documento stabilisce i risultati sotto cinque ipotesi specifiche (H1–H5):

• (H1) Una condizione di crescita rilassata su $B$ che permette un limite coinvolgente le norme in $V$ e $H$ (specificamente $|\langle B(u, v), v \rangle| \leq C \|u\|_V \|v\|_V \|v\|_H^\beta \|v\|_V^{1-\beta}$), che sostituisce la rigorosa proprietà di cancellazione.
• (H2) Pseudo-monotonicità di $B$ rispetto alla convergenza debole.
• (H3) & (H4) Proprietà di regolarità di $B$ che mappa in $H$ quando uno dei suoi argomenti appartiene a uno spazio di regolarità superiore $W$ (tipicamente $H^2$).
• (H5) Un'ipotesi di regolarità ellittica per il problema stazionario: se $f \in H$ soddisfa la disuguaglianza variazionale per l'operatore $A + \partial\varphi$, allora la soluzione $u$ appartiene allo spazio di regolarità superiore $W$. Ciò assume che il corrispondente problema di Stokes stazionario ammetta una struttura di regolarità migliore di $V$.

Risultati Principali
Il documento dimostra due teoremi primari riguardanti la solvibilità forte locale nel tempo:

1. Teorema 2.1: Per $f \in L^2(0, T; H)$ e $u_0 \in D(\varphi)$, esiste un tempo $T^* \in (0, T]$ e una soluzione unica $u$ tale che:
   $$u \in H^1(0, T^*; H) \cap L^\infty(0, T^*; V) \cap L^2(0, T^*; W)$$
   Questa classe corrisponde a un setting di regolarità massima $L^2$.
2. Teorema 2.2: Sotto assunzioni più forti ($f \in W^{1,1}(0, T; H)$ e $u_0 \in W \cap D(\partial\varphi)$ con condizioni di compatibilità), esiste una soluzione unica $u$ tale che:
   $$u \in W^{1,\infty}(0, T^*; H) \cap H^1(0, T^*; V) \cap L^\infty(0, T^*; W)$$
   Questa classe corrisponde alla regolarità Kiselev–Ladyzhenskaya. La soluzione soddisfa la disuguaglianza variazionale per ogni $t \in [0, T^*)$ con la derivata destra che sostituisce la derivata temporale.

Applicazioni ed Esempi
Il framework è applicato a diversi problemi concreti dove la proprietà di cancellazione fallisce o non è assunta:

• Problemi di Ostacolo Convezione-Diffusione: Inclusi i casi con campi di velocità prescritti.
• Problemi di Neumann Non Lineari: Che coinvolgono condizioni al contorno subdifferenziali (ad esempio, problemi di Signorini o di attrito).
• Navier–Stokes con Condizioni al Contorno di Tipo Attrito: Specificamente la condizione di confine di tipo perdita (LBCF) e le condizioni di scivolamento (slip), dove la condizione di impermeabilità è rilassata.
• Fluidi di Bingham: Con condizioni di scivolamento perfetto.

Significatività e Rivendicazioni
L'autore afferma che questo lavoro estende la teoria delle disuguaglianze variazionali di tipo Navier–Stokes in tre modi specifici:

1. Dimensionalità: Include il caso tridimensionale ($d=3$), mentre precedenti risultati di solvibilità forte spesso si basavano sulla proprietà di cancellazione 2D.
2. Condizioni al Contorno: Rilassa il requisito della proprietà di cancellazione $\langle B(u, v), v \rangle = 0$, permettendo così condizioni al contorno (come la LBCF) che non soddisfano tale proprietà.
3. Regolarità: Stabilisce una regolarità spaziale superiore ($H^2$-type, ovvero $W$) per la soluzione, a patto che il sottostante problema di Stokes stazionario ammetta tale regolarità.

Il documento nota che ottenere tali risultati tramite il metodo di Galerkin è non banale a causa della mancanza di cancellazione. L'uso del metodo di Rothe con uno schema semi-implicito viene presentato come un approccio originale a questo specifico problema, in particolare per l'argomento di esistenza locale derivato dalle stime discrete. Il lavoro non rivendica l'esistenza globale per il caso generale 3D senza dati piccoli o specifiche assunzioni strutturali (come la cancellazione 2D), riconoscendo che l'esistenza globale rimane una questione separata.