Local-in-time strong solvability of Navier--Stokes type variational inequalities by Rothe's method

Resumen Técnico: Solvabilidad Fuerte Local en el Tiempo de Desigualdades Variacionales de Tipo Navier–Stokes mediante el Método de Rothe

Planteamiento del Problema
El artículo aborda la existencia y unicidad de soluciones fuertes locales en el tiempo para una clase de desigualdades variacionales parabólicas en un entorno de espacio de Hilbert. El problema se formula como la búsqueda de una función $u: [0, T] \to V$ tal que $u(0) = u_0$ y, para casi todo $t \in (0, T)$, se cumple la siguiente desigualdad para todo $v \in V$:
$$(\partial_t u(t), v - u(t)) + a(u(t), v - u(t)) + \langle B(u(t), u(t)), v - u(t) \rangle + \varphi(v) - \varphi(u(t)) \geq (f(t), v - u(t))$$
Aquí, $V \subset H \subset V'$ es una terna de Gelfand. El término $a(\cdot, \cdot)$ representa una forma bilineal acotada y coercitiva asociada a un operador lineal $A$. El término $B: V \times V \to V'$ es una no linealidad de "tipo Navier–Stokes" (un operador bilineal acotado), y $\varphi: V \to (-\infty, +\infty]$ es un funcional convexo, propio y semicontinuo inferiormente que representa no linealidades monótonas (por ejemplo, restricciones de obstáculo o condiciones de contorno de fricción).

El principal desafío abordado es la falta de la propiedad de "cancelación" estándar $\langle B(u, v), v \rangle = 0$, que es típicamente requerida en el análisis de las ecuaciones de Navier–Stokes para derivar estimaciones de energía. La ausencia de esta propiedad surge en aplicaciones que involucran condiciones de contorno más amplias, como las condiciones de contorno de fuga de tipo fricción (LBCF), donde no se impone estrictamente la impermeabilidad o donde no se prescribe la presión.

Metodología
El autor emplea el método de Rothe (discretización temporal) en lugar del método de Galerkin (discretización espacial). El enfoque consiste en:

1. Discretización Semi-implícita: Se construye un esquema de paso de tiempo donde el término de convección $B$ se trata de forma semi-implícita. Específicamente, la velocidad de convección se toma del paso de tiempo anterior ($u_{n-1}$), mientras que la solución $u_n$ aparece implícitamente en el segundo argumento de $B$ y en el término monótono $\varphi$. Esto contrasta con los esquemas totalmente implícitos o aquellos que requieren la truncación de la no linealidad.
2. Análisis de Tipo Oseen Estacionario: En cada paso de tiempo, el problema se reduce a resolver una desigualdad variacional estacionaria de tipo Oseen. La solvabilidad y regularidad de estos problemas estacionarios se establecen utilizando la teoría de operadores pseudo-monótonos y de hipótesis de regularidad específicas.
3. Estimaciones A Priori: Se derivan estimaciones uniformes para las soluciones discretas. Crucialmente, la derivación de estas estimaciones requiere restringir el intervalo de tiempo a un tiempo de existencia local $T^* < T$ para controlar el crecimiento de los términos no lineales sin la propiedad de cancelación.
4. Paso al Límite: A medida que el paso de tiempo $\Delta t \to 0$, se utilizan argumentos de compacidad (teorema de Aubin–Lions) y técnicas de convergencia débil para pasar al límite, recuperando una solución fuerte al problema continuo.

Supuestos e Hipótesis Clave
El artículo establece resultados bajo cinco hipótesis específicas (H1–H5):

• (H1) Una condición de crecimiento relajada para $B$ que permite un acotamiento involucrando normas en $V$ y $H (específicamente $|\langle B(u, v), v \rangle| \leq C \|u\|_V \|v\|_V \|v\|_H^\beta \|v\|_V^{1-\beta})$, lo cual reemplaza la estricta propiedad de cancelación.
• (H2) Pseudo-monotonía de $B$ con respecto a la convergencia débil.
• (H3) y (H4) Propiedades de regularidad de $B$ mapeando hacia $H$ cuando uno de sus argumentos está en un espacio de mayor regularidad $W$ (típicamente $H^2$).
• (H5) Una hipótesis de regularidad elíptica para el problema estacionario: si $f \in H$ satisface la desigualdad variacional para el operador $A + \partial\varphi$, entonces la solución $u$ pertenece al espacio de mayor regularidad $W$. Esto asume que el problema de Stokes estacionario correspondiente admite una estructura de regularidad mejor que $V$.

Resultados Principales
El artículo demuestra dos teoremas primordiales sobre la solvabilidad fuerte local en el tiempo:

1. Teorema 2.1: Para $f \in L^2(0, T; H)$ y $u_0 \in D(\varphi)$, existe un tiempo $T^* \in (0, T]$ y una solución única $u$ tal que:
   $$u \in H^1(0, T^*; H) \cap L^\infty(0, T^*; V) \cap L^2(0, T^*; W)$$
   Esta clase corresponde a un entorno de regularidad máxima $L^2$.
2. Teorema 2.2: Bajo supuestos más fuertes ($f \in W^{1,1}(0, T; H)$ y $u_0 \in W \cap D(\partial\varphi)$ con condiciones de compatibilidad), existe una solución única $u$ tal que:
   $$u \in W^{1,\infty}(0, T^*; H) \cap H^1(0, T^*; V) \cap L^\infty(0, T^*; W)$$
   Esta clase corresponde a la regularidad de Kiselev–Ladyzhenskaya. La solución satisface la desigualdad variacional para todo $t \in [0, T^*)$ con la derivada derecha reemplazando a la derivada temporal.

Aplicaciones y Ejemplos
El marco de trabajo se aplica a varios problemas concretos donde la propiedad de cancelación falla o no se asume:

• Problemas de Obstáculo de Convección-Difusión: Incluyendo casos con campos de velocidad prescritos.
• Problemas de Neumann No Lineales: Que involucran condiciones de contorno de subdiferencial (por ejemplo, problemas de Signorini o de fricción).
• Navier–Stokes con Condiciones de Contorno de Tipo Fricción: Específicamente la condición de contorno de fuga de tipo fricción (LBCF) y condiciones de deslizamiento (slip), donde la condición de impermeabilidad se relaja.
• Fluidos de Bingham: Con condiciones de deslizamiento perfecto.

Significancia y Reivindicaciones
El autor afirma que este trabajo extiende la teoría de las desigualdades variacionales de tipo Navier–Stokes en tres formas específicas:

1. Dimensionalidad: Incluye el caso tridimensional ($d=3$), mientras que resultados previos de solvabilidad fuerte a menudo dependían de la propiedad de cancelación en 2D.
2. Condiciones de Contorno: Relaja el requisito de la propiedad de cancelación $\langle B(u, v), v \rangle = 0$, permitiendo así condiciones de contorno (como LBCF) que no satisfacen dicha propiedad.
3. Regularidad: Establece una mayor regularidad espacial ($H^2$-tipo, es decir, $W$) para la solución, siempre que el problema de Stokes estacionario correspondiente admita tal regularidad.

El artículo señala que lograr estos resultados mediante el método de Galerkin es no trivial debido a la falta de cancelación. El uso del método de Rothe con un esquema semi-implícito se presenta como un enfoque novedoso para este problema específico, particularmente el argumento de existencia local derivado de las estimaciones discretas. El trabajo no pretende demostrar la existencia global para el caso general 3D sin datos pequeños o supuestos estructurales específicos (como la propiedad de cancelación en 2D), reconociendo que la existencia global sigue siendo un tema separado.