Local-in-time strong solvability of Navier--Stokes type variational inequalities by Rothe's method

Résumé Technique : Résolubilité Forte Locale dans le Temps des Inégalités Variationnelles de Type Navier–Stokes par la Méthode de Rothe

Énoncé du Problème
L'article traite de l'existence et de l'unicité de solutions fortes locales dans le temps pour une classe d'inégalités variationnelles paraboliques dans un cadre d'espace de Hilbert. Le problème est formulé comme la recherche d'une fonction $u: [0, T] \to V$ telle que $u(0) = u_0$ et que, pour presque tout $t \in (0, T)$, l'inégalité suivante soit satisfaite pour tout $v \in V$ :
$$(\partial_t u(t), v - u(t)) + a(u(t), v - u(t)) + \langle B(u(t), u(t)), v - u(t) \rangle + \varphi(v) - \varphi(u(t)) \geq (f(t), v - u(t))$$
Ici, $V \subset H \subset V'$ est un triplet de Gelfand. Le terme $a(\cdot, \cdot)$ représente une forme bilinéaire bornée et coercitive associée à un opérateur linéaire $A$. Le terme $B: V \times V \to V'$ est une non-linéarité de « type Navier–Stokes » (un opérateur bilinéaire borné), et $\varphi: V \to (-\infty, +\infty]$ est une fonctionnelle convexe, propre et semi-continue inférieure représentant des non-linéarités monotones (par exemple, des contraintes d'obstacle ou des conditions de frottement aux limites).

Le principal défi abordé est l'absence de la propriété de « l'annulation » standard $\langle B(u, v), v \rangle = 0$, qui est typiquement requise dans l'analyse des équations de Navier–Stokes pour dériver des estimations d'énergie. L'absence de cette propriété découle d'applications impliquant des conditions aux limites plus larges, telles que les conditions de fuite de type frottement (LBCF), où l'imperméabilité n'est pas strictement imposée ou bien que la pression n'est pas prescrite.

Méthodologie
L'auteur emploie la méthode de Rothe (discrétisation temporelle) plutôt que la méthode de Galerkin (discrétisation spatiale). L'approche consiste en :

1. Discrétisation Semi-implicite : Un schéma de discrétisation temporelle est construit où le terme de convection $B$ est traité de manière semi-implicite. Plus précisément, la vitesse de convection est prise à l'étape de temps précédente ($u_{n-1}$), tandis que la solution $u_n$ apparaît implicitement dans le second argument de $B$ et dans le terme monotone $\varphi$. Cela contraste avec les schéments entièrement implicites ou ceux nécessitant une troncature de la non-linéarité.
2. Analyse de Type Oseen Stationnaire : À chaque étape de temps, le problème se réduit à la résolution d'une inégalité variationnelle stationnaire de type Oseen. La résolubilité et la régularité de ces problèmes stationnaires sont établies en utilisant la théorie des opérateurs pseudo-monotones et des hypothèses de régularité spécifiques.
3. Estimations A Priori : Des estimations uniformes pour les solutions discrètes sont dérivées. Crucialement, la dérivation de ces estimations nécessite de restreindre l'intervalle de temps à un temps d'existence locale $T^* < T$ afin de contrôler la croissance des termes non linéaires sans la propriété d'annulation.
4. Passage à la Limite : Lorsque le pas de temps $\Delta t \to 0$, des arguments de compacité (théorème d'Aubin–Lions) et des techniques de convergence faible sont utilisés pour passer à la limite, permettant de récupérer une solution forte du problème continu.

Hypothèses Clés
L'article établit des résultats sous cinq hypothèses spécifiques (H1–H5) :

• (H1) Une condition de croissance relaxée sur $B$ permettant une borne impliquant les normes dans $V$ et $H$ (spécifiquement $|\langle B(u, v), v \rangle| \leq C \|u\|_V \|v\|_V \|v\|_H^\beta \|v\|_V^{1-\beta}$), ce qui remplace la stricte propriété d'annulation.
• (H2) La pseudo-monotonie de $B$ par rapport à la convergence faible.
• (H3) & (H4) Des propriétés de régularité de $B$ vers $H$ lorsque l'un de ses arguments appartient à un espace de régularité supérieure $W$ (typiquement $H^2$).
• (H5) Une hypothèse de régularité elliptique pour le problème stationnaire : si $f \in H$ satisfait l'inégalité variationnelle pour l'opérateur $A + \partial\varphi$, alors la solution $u$ appartient à l'espace de régularité supérieure $W$. Cela suppose que le problème de Stokes stationnaire correspondant admet une structure de régularité meilleure que $V$.

Résultats Principaux
L'article prouve deux théorèmes principaux concernant la résolubilité forte locale dans le temps :

1. Théorème 2.1 : Pour $f \in L^2(0, T; H)$ et $u_0 \in D(\varphi)$, il existe un temps $T^* \in (0, T]$ et une solution unique $u$ telle que :
   $$u \in H^1(0, T^*; H) \cap L^\infty(0, T^*; V) \cap L^2(0, T^*; W)$$
   Cette classe correspond à un cadre de régularité maximale $L^2$.
2. Théorème 2.2 : Sous des hypothèses plus fortes ($f \in W^{1,1}(0, T; H)$ et $u_0 \in W \cap D(\partial\varphi)$ avec conditions de compatibilité), il existe une solution unique $u$ telle que :
   $$u \in W^{1,\infty}(0, T^*; H) \cap H^1(0, T^*; V) \cap L^\infty(0, T^*; W)$$
   Cette classe correspond à la régularité de Kiselev–Ladyzhenskaya. La solution satisfait l'inégalité variationnelle pour tout $t \in [0, T^*)$ avec la dérivée à droite remplaçant la dérivée temporelle.

Applications et Exemples
Le cadre est appliqué à plusieurs problèmes concrets où la propriété d'annulation échoue ou n'est pas supposée :

• Problèmes d'Obstacle Convection-Diffusion : Incluant les cas avec des champs de vitesse prescrits.
• Problèmes de Neumann Non Linéaires : Impliquant des conditions aux limites de type sous-différentiel (par exemple, problèmes de Signorini ou de frottement).
• Navier–Stokes avec Conditions aux Limites de Type Frottement : Spécifiquement la condition de fuite de type frottement (LBCF) et les conditions de glissement, où la condition d'imperméabilité est relaxée.
• Fluides de Bingham : Avec des conditions de glissement parfait.

Signification et Revendications
L'auteur affirme que ce travail étend la théorie des inégalités variationnelles de type Navier–Stokes de trois manières spécifiques :

1. Dimensionnalité : Il inclut le cas tridimensionnel ($d=3$), alors que les résultats précédents de résolubilité forte reposaient souvent sur la propriété d'annulation en 2D.
2. Conditions aux Limites : Il relaxe l'exigence de la propriété d'annulation $\langle B(u, v), v \rangle = 0$, permettant ainsi des conditions aux limites (comme la LBCF) qui ne satisfont pas cette propriété.
3. Régularité : Il établit une régularité spatiale plus élevée ($H^2$-type, soit $W$) pour la solution, à condition que le problème de Stokes stationnaire sous-jacent admette une telle régularité.

L'article note que l'obtention de ces résultats via la méthode de Galerkin est non triviale en raison de l'absence d'annulation. L'utilisation de la méthode de Rothe avec un schéma semi-implicite est présentée comme une approche novatrice pour ce problème spécifique, particulièrement pour l'argument de l'existence locale dérivé des estimations discrètes. Le travail ne prétend pas à l'existence globale pour le cas général en 3D sans données petites ou hypothèses structurelles spécifiques (comme la propriété d'annulation en 2D), reconnaissant que l'existence globale reste une question distincte.