Local-in-time strong solvability of Navier--Stokes type variational inequalities by Rothe's method

Resumo Técnico: Solvabilidade Forte Local no Tempo de Desigualdades Variacionais do Tipo Navier–Stokes por Meio do Método de Rothe

Enunciado do Problema
O artigo aborda a existência e unicidade de soluções fortes locais no tempo para uma classe de desigualdades variacionais parabólicas em um ambiente de espaço de Hilbert. O problema é formulado como a busca de uma função $u: [0, T] \to V$ tal que $u(0) = u_0$ e, para quase todo $t \in (0, T)$, a seguinte desigualdade se mantém para todo $v \in V$:
$$(\partial_t u(t), v - u(t)) + a(u(t), v - u(t)) + \langle B(u(t), u(t)), v - u(t) \rangle + \varphi(v) - \varphi(u(t)) \geq (f(t), v - u(t))$$
Aqui, $V \subset H \subset V'$ é uma tripla de Gelfand. O termo $a(\cdot, \cdot)$ representa uma forma bilinear limitada e coerciva associada a um operador linear $A$. O termo $B: V \times V \to V'$ é uma não linearidade "do tipo Navier–Stokes" (um operador bilinear limitado), e $\varphi: V \to (-\infty, +\infty]$ é um funcional convexo, próprio e semicontínuo inferiormente que representa não linearidades mono-tônicas (por exemplo, restrições de obstáculo ou condições de contorno de fricção).

O principal desafio abordado é a ausência da padrão "propriedade de cancelamento" $\langle B(u, v), v \rangle = 0$, que é tipicamente necessária na análise das equações de Navier–Stokes para derivar estimativas de energia. A ausência desta propriedade surge em aplicações envolvendo condições de contorno mais amplas, como as condições de contorno de vazão do tipo fricção (LBCF), onde a impermeabilidade não é estritamente imposta ou onde a pressão não é prescrita.

Metodologia
O autor emprega o método de Rothe (discretização temporal) em vez do método de Galerkin (discretização espacial). A abordagem envolve:

1. Discretização Semi-implícita: Um esquema de passos de tempo é construído onde o termo de convecção $B$ é tratado de forma semi-implícita. Especificamente, a velocidade de convecção é tomada do passo de tempo anterior ($u_{n-1}$), enquanto a solução $u_n$ aparece implicitamente no segundo argumento de $B$ e no termo monotônico $\varphi$. Isso contrasta com esquemas totalmente implícitos ou que exigem o truncamento da não linearidade.
2. Análise do Tipo Oseen Estacionário: Em cada passo de tempo, o problema reduz-se à resolução de uma desigualdade variacional estacionária do tipo Oseen. A solvabilidade e a regularidade desses problemas estacionários são estabelecidas usando a teoria de operadores pseudo-monótonos e hipóteses específicas de regularidade.
3. Estimativas A Priori: Estimativas uniformes para as soluções discretas são derivadas. Crucialmente, a derivação dessas estimativas requer restringir o intervalo de tempo a um tempo de existência local $T^* < T$ para controlar o crescimento dos termos não lineares sem a propriedade de cancelamento.
4. Passagem ao Limite: À medida que o passo de tempo $\Delta t \to 0$, utilizam-se argumentos de compacidade (teorema de Aubin–Lions) e técnicas de convergência fraca para passar ao limite, recuperando uma solução forte do problema contínuo.

Premissas e Hipóteses Principais
O artigo estabelece resultados sob cinco hipóteses específicas (H1–H5):

• (H1) Uma condição de crescimento relaxada para $B$ permitindo um limite envolvendo normas em $V$ e $H$ (especificamente $|\langle B(u, v), v \rangle| \leq C \|u\|_V \|v\|_V \|v\|_H^\beta \|v\|_V^{1-\beta}$), que substitui a estrita propriedade de cancelamento.
• (H2) Pseudo-monotonicidade de $B$ em relação à convergência fraca.
• (H3) & (H4) Propriedades de regularidade de $B$ mapeando para $H$ quando um de seus argumentos está em um espaço de maior regularidade $W$ (tipicamente $H^2$).
• (H5) Uma hipótese de regularidade elíptica para o problema estacionário: se $f \in H$ satisfaz a desigualdade variacional para o operador $A + \partial\varphi$, então a solução $u$ pertence ao espaço de maior regularidade $W$. Isso assume que o problema de Stokes estacionário correspondente admite uma estrutura de regularidade melhor que $V$.

Principais Resultados
O artigo prova dois teoremas primários sobre a solvabilidade forte local no tempo:

1. Teorema 2.1: Para $f \in L^2(0, T; H)$ e $u_0 \in D(\varphi)$, existe um tempo $T^* \in (0, T]$ e uma solução única $u$ tal que:
   $$u \in H^1(0, T^*; H) \cap L^\infty(0, T^*; V) \cap L^2(0, T^*; W)$$
   Esta classe corresponde a um cenário de regularidade máxima $L^2$.
2. Teorema 2.2: Sob pressupostos mais fortes ($f \in W^{1,1}(0, T; H)$ e $u_0 \in W \cap D(\partial\varphi)$ com condições de compatibilidade), existe uma solução única $u$ tal que:
   $$u \in W^{1,\infty}(0, T^*; H) \cap H^1(0, T^*; V) \cap L^\infty(0, T^*; W)$$
   Esta classe corresponde à regularidade de Kiselev–Ladyzhenskaya. A solução satisfaz a desigualdade variacional para todo $t \in [0, T^*)$ com a derivada à direita substituindo a derivada temporal.

Aplicações e Exemplos
O arcabouço é aplicado a vários problemas concretos onde a propriedade de cancelamento falha ou não é assumida:

• Problemas de Obstáculo de Convecção-Difusão: Incluindo casos com campos de velocidade prescritos.
• Problemas de Neumann Não Lineares: Envolvendo condições de contorno de subdiferencial (por exemplo, problemas de Signorini ou de fricção).
• Navier–Stokes com Condições de Contorno do Tipo Fricção: Especificamente a condição de contorno de vazão do tipo fricção (LBCF) e condições de escorregamento (slip), onde a condição de impermeabilidade é relaxada.
• Fluidos de Bingham: Com condições de escorregamento perfeito.

Significância e Alegações
O autor afirma que este trabalho estende a teoria das desigualdades variacionais do tipo Navier–Stokes de três maneiras específicas:

1. Dimensionalidade: Inclui o caso tridimensional ($d=3$), enquanto resultados anteriores de solvabilidade forte frequentemente dependiam da propriedade de cancelamento 2D.
2. Condições de Contorno: Relaxa o requisito da propriedade de cancelamento $\langle B(u, v), v \rangle = 0$, permitindo assim condições de contorno (como LBCF) que não satisfazem essa propriedade.
3. Regularidade: Estabelece maior regularidade espacial ($H^2$-tipo, isto é, $W$) para a solução, desde que o problema de Stokes estacionário subjacente admita tal regularidade.

O artigo observa que alcançar esses resultados via método de Galerkin é não trivial devido à falta de cancelamento. O uso do método de Rothe com um esquema semi-implícito é apresentado como uma abordagem inovadora para este problema específico, particularmente o argumento de existência local derivado das estimativas discretas. O trabalho não reivindica existência global para o caso 3D geral sem dados pequenos ou suposições estruturais específicas (como a propriedade de cancelamento 2D), reconhecendo que a existência global permanece sendo uma questão distinta.