Cell-vertex WENO schemes with shock-capturing quadrature for high-order finite element discretizations of hyperbolic problems

Sintesi Tecnica: Schemi WENO cell-vertex con cattura degli urti tramite quadratura per discretizzazioni agli elementi finiti ad alto ordine di problemi iperbolici

Definizione del Problema
Il documento affronta la sfida di sviluppare schemi numerici robusti e ad alta precisione per leggi di conservazione iperboliche utilizzando metodi agli elementi finiti continui (CG) e discontinuous Galerkin (DG). Sebbene i metodi ad alto ordine offrano una risoluzione superiore nelle regioni lisce, essi sono soggetti a oscillazioni spurie in prossimità delle discontinuità (urti). Le attuali strategie di stabilizzazione, in particolare quelle basate sulla ricostruzione Weighted Essentially Non-Oscillatory (WENO), si affidano spesso a stencil "cell-cell" che utilizzano i dati dei vicini di von Neumann (celle che condividono una faccia/spigolo). Gli autori identificano due limitazioni primarie negli approcci correnti:

1. Bias Direzionale e Imprinting della Mesh: Le ricostruzioni cell-cell standard ignorano i vicini dei vertici, portando a un bias direzionale che può identificare erroneamente le regioni lisce e degradare l'accuratezza, specialmente per urti obliqui o su mesh non strutturate.
2. Dissipazione Uniforme: Nei framework di stabilizzazione basati sulla dissipazione, la viscosità artificiale viene tipicamente distribuita uniformemente su un elemento. Ciò può portare a uno smorzamento eccessivo degli urti su mesh grossolane ad alto ordine, dove la risoluzione subcell sarebbe desiderabile ma le tecniche di decomposizione subcell sono computazionalmente costose o complesse da implementare.

Metodologia
Gli autori propongono un framework unificato che integra due componenti innovative nella metodologia di stabilizzazione WENO basata sulla dissipazione:

1. Ricostruzione WENO Cell-Vertex:

   • Invece di costruire polinomi candidati esclusivamente dai vicini di von Neumann, gli autori introducono una procedura di media "cell-vertex".
   • Meccanismo: I dati della soluzione agli elementi finiti (inclusi i derivati) dalle celle che circondano un determinato vertice della mesh vengono inviati a quel vertice. Viene quindi costruito un polinomio HWENO (Hermite WENO) mediato sui vertici.
   • Ricostruzione: La ricostruzione per una cella target combina l'approssimazione agli elementi finiti della cella stessa con i polinomi HWENO associati ai suoi vertici.
   • Beneficio: Questo incorpora le informazioni dai vicini dei vertici senza espandere esplicitamente la dimensione dello stencil di ricostruzione o aggiungere nuovi polinomi candidati. Il processo mitiga l'imprinting della mesh e il bias direzionale mantenendo uno stencil compatto paragonabile ai tradizionali approcci cell-cell.

2. Dissipazione per Cattura degli Urti Guidata dalla Quadratura:

   • Gli autori propongono un metodo per localizzare la viscosità artificiale all'interno di un elemento senza scomporre l'elemento in subcell.
   • Meccanismo: I pesi di quadratura lineari standard utilizzati per calcolare il termine di stabilizzazione vengono sostituiti da fattori di scala non lineari di tipo WENO. Tali fattori sono derivati da sensori di regolarità puntuali (basati sul gradiente della soluzione nei punti di quadratura).
   • Conservazione: I fattori di scala sono normalizzati in modo che il tasso di dissipazione totale all'interno dell'elemento rimanga esattamente uguale al tasso di dissipazione uniforme originale.
   • Effetto: Questo concentra la dissipazione vicino ai gradienti netti (discontinuità) minimizzando al contempo la dissipazione nelle porzioni lisce di celle "problematiche", emulando efficacemente la localizzazione subcell con regole di quadratura standard.

Contributi Chiave

• Nuova Strategia di Ricostruzione: L'introduzione dello schema cell-vertex WENO, che utilizza dati HWENO mediati sui vertici per migliorare la robustezza e l'accuratezza delle ricostruzioni ad alto ordine sia su mesh strutturate che non strutturate.
• Localizzazione Basata sulla Quadratura: Una nuova tecnica per ridistribuire la viscosità artificiale all'interno di elementi ad alto ordine utilizzando pesi di quadratura non lineari, offrendo un'alternativa computazionalmente efficiente alla decomposizione subcell.
• Framework Unificato: L'applicazione di questi miglioramenti sia alle discretizzazioni CG che DG all'interno di un framework di stabilizzazione basato sulla dissipazione, dimostrando che i metodi CG ad alto ordine possono raggiungere una robustezza comparabile ai metodi DG quando dotati di queste tecniche.

Risultati Numerici
Gli autori validano i loro schemi proposti (denotati come CV-WENO e CV-WENO-SC per la versione con quadratura potenziata) contro gli schemi CC-WENO (cell-cell) standard utilizzando una serie di casi di test 1D e 2D:

• Rotazione di Corpi Rigidi (Advezione Lineare): Per gradi polinomiali elevati ($p=4$), lo schema CV-WENO supera significativamente il CC-WENO nel catturare sia le caratteristiche lisce che quelle discontinue, riducendo gli errori $L_1$. La versione potenziata dalla quadratura (CV-WENO-SC) riduce ulteriormente gli errori.
• Equazione di Burgers Inviscida: Gli schemi raggiungono tassi di convergenza ottimali ($p+1$) nei regimi liscio. In presenza di urti, CV-WENO e CV-WENO-SC producono soluzioni non oscillanti comparabili al CC-WENO.
• Problema KPP: Lo schema cattura con successo la struttura d'onda rotazionale di questo problema non lineare impegnativo, dimostrando stabilità entropica numerica senza richiedere correzioni entropiche esplicite.
• Equazioni di Euler (Gas Dinamica):
  • Tubo d'urto di Sod Modificato: Lo schema CV-WENO mantiene la stabilità entropica e risolve gli urti accuratamente sia per le formulazioni CG che DG, anche a gradi polinomiali molto elevati ($p=32$).
  • Esplosione di Woodward-Colella: Lo schema mantiene la positività di densità e pressione senza limitatori aggiuntivi. La dissipazione guidata dalla quadratura (CV-WENO-SC) migliora la risoluzione dei picchi di densità per $p \ge 4$.
  • Riflessione di Mach Doppia: Lo schema risolve con successo la complessa regione del triplo punto e gli urti forti in 2D, sopprimendo le oscillazioni non fisiche.

Significatività e Rivendicazioni
Il documento sostiene che l'approccio cell-vertex WENO e la dissipazione guidata dalla quadratura forniscono un'alternativa convincente agli standard di ricostruzione cell-cell e agli schemi di cattura degli urti subcell.

• Accuratezza e Robustezza: I metodi dimostrano miglioramenti sostanziali in termini di accuratezza e robustezza per elementi ad alto ordine, in particolare su mesh grossolane dove i metodi tradizici ad alto ordine faticano.
• Efficienza: La localizzazione basata sulla quadratura ottiene l'effetto della localizzazione della dissipazione subcell senza l'overhead computazionale della decomposizione subcell.
• Generalità: L'approccio è applicabile sia ai metodi CG che DG e non dipende da strutture di mesh specifiche, sebbene gli attuali esperimenti numerici siano limitati a mesh strutturate uniformi.
• Modestia: Gli autori osservano che, sebbene gli schemi appaiano numericamente stabili dal punto di vista dell'entropia, non viene fornita una prova formale delle disuguaglianze entropiche discrete, in linea con i limiti di quasi tutti gli schemi WENO esistenti. Riconoscono inoltre che, sebbene lo schema sia robusto, non è garantito che sia preservante del dominio (IDP) in tutti i casi senza un ulteriore limitatore (es. il limitatore Zhang-Shu), sebbene sia possibile applicare il limiting convesso se necessario.