Cell-vertex WENO schemes with shock-capturing quadrature for high-order finite element discretizations of hyperbolic problems

Resumen Técnico: Esquemas WENO de celda-vértice con captura de choques mediante cuadratura para discretizaciones de elementos finitos de alto orden en problemas hiperbólicos

Planteamiento del Problema
El artículo aborda el desafío de desarrollar esquemas numéricos robustos y de alta precisión para leyes de conservación hiperbólicas utilizando métodos de elementos finitos continuos (CG) y de Galerkin discontinuos (DG). Aunque los métodos de alto orden ofrecen una resolución superior en regiones suaves, son propensos a oscilaciones espurias cerca de las discontinuidades (choques). Las estrategias de estabilización existentes, particularmente aquellas basadas en la reconstrucción de Pesado Esencialmente No Oscilatorio (WENO), suelen depender de estenciles "celda-celda" que utilizan datos de vecinos de von Neumann (celdas que comparten una cara/arista). Los autores identifican dos limitaciones primarias en los enfoques actuales:

1. Sesgo Direccional e Impronta de la Malla: Las reconstrucciones estándar de celda-celda ignoran a los vecinos de los vértices, lo que genera un sesgo direccional que puede identificar erróneamente regiones suaves y degradar la precisión, particularmente para choques oblicuos o en mallas no estructuradas.
2. Disipación Uniforme: En los marcos de trabajo de estabilización basados en la disipación, la viscosidad artificial se distribuye típicamente de forma uniforme en un elemento. Esto puede provocar un exceso de emborronamiento de los choques en mallas gruesas de alto orden donde la resolución subcelda sería deseable, pero las técnicas de descomposición subcelular son computacionalmente costosas o complejas de implementar.

Metodología
Los autores proponen un marco unificado que integra dos componentes novedosos en la metodología de estabilización WENO basada en la disipación:

1. Reconstrucción WENO Celda-Vértice:

   • En lugar de construir polinomios candidatos basándose únicamente en los vecinos de von Neumann, los autores introducen un procedimiento de promediado "celda-vértice".
   • Mecanismo: Los datos de la solución de elementos finitos (incluyendo derivadas) de las celdas que rodean un vértice de malla específico se envían a dicho vértice. Se construye un polinomio Hermite WENO (HWENO) promediado en el vértice.
   • Reconstrucción: Para una celda objetivo, la reconstrucción combina la aproximación de elementos finitos de la propia celda con los polinomios HWENO asociados a los vértices de la celda.
   • Beneficio: Esto incorpora información de los vecinos de los vértices sin expandir explícitamente el tamaño del estencil de reconstrucción ni añadir nuevos polinomios candidatos. El proceso mitiga la impronta de la malla y el sesgo direccional, manteniendo un estencil compacto comparable al de los enfoques tradicionales de celda-celda.

2. Disipación de Captura de Choques Impulsada por Cuadratura:

   • Los autores proponen un método para localizar la viscosidad artificial dentro de un elemento sin descomponer el elemento en subceldas.
   • Mecanismo: Los pesos de cuadratura lineales estándar utilizados para calcular el término de estabilización se reemplazan por factores de escala no lineales de tipo WENO. Estos factores se derivan de sensores de suavidad puntuales (basados en el gradiente de la solución en los puntos de cuadratura).
   • Conservación: Los factores de escala se normalizan de modo que la tasa de disipación total dentro del elemento sea exactamente igual a la tasa de disipación uniforme original.
   • Efecto: Esto concentra la disipación cerca de los gradientes pronunciados (discontinuidades) mientras minimiza la disipación en las porciones suaves de las celdas "problemáticas", emulando efectivamente la localización subcelular con reglas de cuadratura estándar.

Contribuciones Clave

• Nueva Estrategia de Reconstrucción: La introducción del esquema WENO celda-vértice, que utiliza datos HWSEO promediados en los vértices para mejorar la robustez y precisión de las reconstrucciones de alto orden tanto en mallas estructuradas como no estructuradas.
• Localización Basada en Cuadratura: Una nueva técnica para redistribuir la viscosidad artificial dentro de elementos de alto orden utilizando pesos de cuadratura no lineales, ofreciendo una alternativa computacionalmente eficiente a la descomposición de subceldas.
• Marco Unificado: La aplicación de estas mejoras tanto a las discretizaciones CG como DG dentro de un marco de estabilización basado en la disipación, demostrando que los métodos CG de alto orden pueden alcanzar una robustez comparable a los métodos DG cuando se equipan con estas técnicas.

Resultados Numéricos
Los autores validan los esquemas propuestos (denotados como CV-WENO y CV-WENO-SC para la versión mejorada por cuadratura) contra esquemas de celda-celda WENO (CC-WENO) utilizando una serie de casos de prueba en 1D y 2D:

• Rotación de Cuerpo Rígido (Advección Lineal): Para grados polinómicos altos ($p=4$), el esquema CV-WENO supera significativamente al CC-WENO en la captura de características tanto suaves como discontinuas, reduciendo los errores $L_1$. La versión mejorada por cuadratura (CV-WENO-SC) reduce aún más los errores.
• Ecuación de Burgers Sin Viscosidad: Los esquemas alcanzan tasas de convergencia óptimas ($p+1$) en regímenes suaves. En presencia de choques, CV-WENO y CV-WENO-SC producen soluciones no oscilatorias comparables a CC-WENO.
• Problema KPP: El esquema captura con éxito la estructura de onda rotacional de este problema no lineal desafiante, demostrando estabilidad de entropía numérica sin requerir correcciones de entropía explícitas.
• Ecuaciones de Euler (Dinámica de Gases):
  • Tubo de Choque de Sod Modificado: El esquema CV-WENO mantiene la estabilidad de entropía y resuelve los choques con precisión tanto para las formulaciones CG como DG, incluso a grados polinómicos muy altos ($p=32$).
  • Onda de Explosión de Woodward-Colella: El esquema mantiene la positividad de la densidad y la presión sin limitadores adicionales. La disipación impulsada por cuadratura (CV-WENO-SC) mejora la resolución de los picos de densidad para $p \ge 4$.
  • Reflexión de Mach Doble: El esquema resuelve con éxito la región compleja del punto triple y los choques fuertes en 2D, suprimiendo las oscilaciones no físicas.

Significancia y Reivindicaciones
El artículo sostiene que el enfoque de reconstrucción WENO celda-vértice y la disipación impulsada por cuadratura proporcionan una alternativa convincente a las reconstrucciones estándar de celda-celda y a los esquemas de captura de choques subcelulares.

• Precisión y Robustez: Los métodos demuestran mejoras sustanciales en la precisión y robustez para elementos de alto orden, particularmente en mallas gruesas donde los métodos tradicionales de alto orden presentan dificultades.
• Eficiencia: La localización por cuadratura logra el efecto de la localización de disipación subcelular sin la carga computacional de la descomposición de subceldas.
• Generalidad: El enfoque es aplicable tanto a métodos CG como DG y no depende de estructuras de malla específicas, aunque los experimentos numéricos actuales se limitan a mallas estructuradas uniformes.
• Modestia: Los autores señalan que, aunque los esquemas parecen ser numéricamente estables de entropía, no se proporciona una prueba formal de las desigualdades de entropía discretas, lo cual es consistente con las limitaciones de la mayoría de los esquemas WENO existentes. También reconocen que, si bien el esquema es robusto, no se garantiza que sea preservador de dominio invariante (IDP) en todos los casos sin un limitador adicional (por ejemplo, el limitador de Zhang-Shu), aunque se puede aplicar un limitador convexo si es necesario.