Cell-vertex WENO schemes with shock-capturing quadrature for high-order finite element discretizations of hyperbolic problems

Résumé technique : Schémas WENO cellule-sommet avec quadrature de capture de choc pour les discrétisations par éléments finis d'ordre élevé de problèmes hyperboliques

Énoncé du problème
L'article traite du défi consistant à développer des schémas numériques robustes et d'ordre élevé pour les lois de conservation hyperboliques en utilisant les méthodes d'éléments finis continues (CG) et de Galerkin discontinus (DG). Bien que les méthodes d'ordre élevé offrent une résolution supérieure dans les zones lisses, elles sont sujettes aux oscillations parasites à proximité des discontinuités (chocs). Les stratégies de stabilisation existantes, particulièrement celles basées sur la reconstruction Weighted Essentially Non-Oscillatory (WENO), reposent souvent sur des patrons « cellule-cellule » qui utilisent les données des voisins de von Neumann (cellules partageant une face ou un arête). Les auteurs identifient deux limitations primaires dans les approches actuelles :

1. Biais directionnel et empreinte de maillage : Les reconstructions cellule-cellule standard ignorent les voisins de sommets, ce qui entraîne un biais directionnel pouvant identifier erronément les régions lisses et dégrader la précision, particulièrement pour les chocs obliques ou sur des maillages non structurés.
2. Dissipation uniforme : Dans les cadres de stabilisation basés sur la dissipation, la viscosité artificielle est typiquement distribuée uniformément à travers un élément. Cela peut conduire à un étalement excessif des chocs sur des maillages grossiers à haut ordre, où la résolution sous-cellulaire est souhaitable mais où les techniques de décomposition sous-cellulaire sont coûteuses en calcul ou complexes à implémenter.

Méthodologie
Les auteurs proposent un cadre unifié intégrant deux composantes novatrices dans la méthodologie de stabilisation WENO basée sur la dissipation :

1. Reconstruction WENO cellule-sommet :

   • Au lieu de construire des polynômes candidats uniquement à partir des voisins de von Neumann, les auteurs introduisent une procédure de moyenne « cellule-sommet ».
   • Mécanisme : Les données de la solution par éléments finis (incluant les dérivées) des cellules entourant un sommet spécifique sont envoyées vers ce sommet. Un polynôme Hermite WENO (HWENO) moyenné au sommet est ensuite construit à la position du sommet.
   • Reconstruction : Pour une cellule cible, la reconstruction combine l'approximation par éléments finis de la cellule avec les polynômes HWENO associés aux sommets de la cellule.
   • Avantage : Cela incorpore les informations des voisins de sommets sans élargir explicitement le patron de reconstruction ni ajouter de nouveaux polynômes candidats. Le processus atténue l'empreinte de maillage et le biais directionnel tout en maintenant un patron compact comparable aux approches cellule-cellule traditionnelles.

2. Dissipation de capture de choc pilotée par quadrature :

   • Les auteurs proposent une méthode pour localiser la viscosité artificielle au sein d'un élément sans décomposer l'élément en sous-cellules.
   • Mécanisme : Les poids de quadrature linéaires standards utilisés pour calculer le terme de stabilisation sont remplacés par des facteurs d'échelle de type WENO non linéaires. Ces facteurs sont dérivés de capteurs de lissité ponctuels (basés sur le gradient de la solution aux points de quadrature).
   • Conservation : Les facteurs d'échelle sont normalisés de sorte que le taux de dissipation total au sein de l'élément reste exactement égal au taux de dissipation uniforme original.
   • Effet : Cela concentre la dissipation près des gradients abrupts (discontinuités) tout en minimisant la dissipation dans les parties lisses des cellules « problématiques », imitant ainsi efficacement la localisation sous-cellulaire avec des règles de quadrature standards.

Contributions clés

• Stratégie de reconstruction novatrice : L'introduction du schéma WENO cellule-sommet, qui utilise des données HWENO moyennées aux sommets pour améliorer la robustesse et la précision des reconstructions d'ordre élevé sur des maillages structurés et non structurés.
• Localisation par quadrature : Une nouvelle technique pour redistribuer la viscosité artificielle au sein d'éléments de haut ordre en utilisant des poids de quadrature non linéaires, offrant une alternative efficace au calcul par décomposition sous-cellulaire.
• Cadre unifié : L'application de ces améliorations aux discrétisations CG et DG au sein d'un cadre de stabilisation basé sur la dissipation, démontrant que les méthodes CG d'ordre élevé peuvent atteindre une robustesse comparable aux méthodes DG lorsqu'elles sont équipées de ces techniques.

Résultats numériques
Les auteurs valident les schémas proposés (notés CV-WENO et CV-WENO-SC pour la version enrichie par quadrature) par rapport aux schémas CC-WENO (cellule-cellule) en utilisant une série de cas de tests 1D et 2D :

• Rotation de corps rigide (Advection linéaire) : Pour des degrés polynomiaux élevés ($p=4$), le schéma CV-WENO surpasse de manière significative le CC-WENO pour capturer à la fois les caractéristiques lisses et discontinues, réduisant les erreurs $L_1$. La version enrichie par quadrature (CV-WENO-SC) réduit davantage les erreurs.
• Équation de Burgers sans viscosité : Les schémas atteignent des taux de convergence optimaux ($p+1$) dans les régimes lisses. En présence de chocs, CV-WENO et CV-WENO-SC produisent des solutions non oscillatoires comparables au CC-WENO.
• Problème KPP : Le schéma capture avec succès la structure d'onde rotationnelle de ce problème non linéaire complexe, démontrant une stabilité d'entropie numérique sans nécessiter de corrections d'entropie explicites.
• Équations d'Euler (Dynamique des gaz) :
  • Tube de choc de Sod modifié : Le schéma CV-WENO maintient la stabilité d'entropie et résout les chocs avec précision pour les formulations CG et DG, même à des degrés polynomiaux très élevés ($p=32$).
  • Onde de choc de Woodward-Colella : Le schéma maintient la positivité de la densité et de la pression sans limiteurs additionnels. La dissipation pilotée par quadrature (CV-WENO-SC) améliore la résolution des pics de densité pour $p \ge 4$.
  • Réflexion de Mach double : Le schéma résout avec succès la région complexe du point triple et les chocs forts en 2D, supprimant les oscillations non physiques.

Signification et affirmations
L'article affirme que l'approche WENO cellule-sommet et la dissipation pilotée par quadrature constituent une alternative convaincante aux reconstructions cellule-cellule standard et aux schémas de capture de choc sous-cellulaires.

• Précision et robustesse : Les méthodes démontrent des améliorations substantielles de la précision et de la robustesse pour les éléments d'ordre élevé, particulièrement sur des maillages grossiers où les méthodes d'ordre élevé traditionnelles peinent.
• Efficacité : La localisation par quadrature atteint l'effet de la localisation de la dissipation sous-cellulaire sans le surcoût de calcul de la décomposition sous-cellulaire.
• Généralité : L'approche est applicable aux méthodes CG et DG et ne dépend pas de structures de maillage spécifiques, bien que les expériences numériques actuelles soient limitées à des maillages structurés uniformes.
• Modestie : Les auteurs notent que, bien que les schémas semblent être numériquement stables en entropie, une preuve formelle des inégalités d'entropie discrètes n'est pas fournie, ce qui est cohérent avec les limites de la plupart des schémas WENO existants. Ils reconnaissent également que, bien que le schéma soit robuste, il n'est pas garanti d'être invariant du domaine (IDP) dans tous les cas sans limitation supplémentaire (par exemple, le limiteur Zhang-Shu), bien qu'une limitation convexe puisse être appliquée si nécessaire.