Cell-vertex WENO schemes with shock-capturing quadrature for high-order finite element discretizations of hyperbolic problems

Resumo Técnico: Esquemas WENO célula-vértice com captura de choque por quadratura para discretizações de elementos finitos de ordem elevada para problemas hiperbólicos

Definição do Proble Problema
O artigo aborda o desafio de desenvolver esquemas numéricos robustos e de alta ordem para leis de conservação hiperbólicas utilizando métodos de elementos finitos contínuos (CG) e de Galerkin descontínuos (DG). Embora os métodos de ordem elevada ofereçam uma resolução superior em regiões suaves, eles são propensos a oscilações espúrias próximos a descontinuidades (choques). As estratégias de estabilização existentes, particularmente aquelas baseadas em reconstrução de Oscilação Mínima Essencialmente Não-Oscilatória Ponderada (WENO), frequentemente dependem de estêncilas "célula-célula" que utilizam dados de vizinhos de von Neumann (células que compartilham uma face/aresta). Os autores identificam duas limitações primárias nas abordagens atuais:

1. Viés Direcional e Impregnação de Malha: As reconstruções padrão célula-célula ignoram os vizinhos de vértice, levando a um viés direcional que pode identificar incorretamente regiões suaves e degradar a precisão, particularmente para choques oblíquos ou em malhas não estruturadas.
2. Dissipação Uniforme: Em estruturas de estabilização baseadas em dissipação, a viscosidade artificial é tipicamente distribuída uniformemente através de um elemento. Isso pode levar a um excesso de suavização de choques em malhas grosseiras de ordem elevada, onde a resolução subcelular é desejável, mas técnicas de decomposição subcelular podem ser computacionalmente caras ou complexas de implementar.

Metodologia
Os autores propõem um framework unificado que integra dois componentes inovadores na metodologia de estabilização WENO de dissipação existente:

1. Reconstrução WENO Célula-Vértice:

   • Em vez de construir polinômios candidatos baseados apenas em vizinhos de von Neumann, os autores introduzem um procedimento de média "célula-vértice".
   • Mecanismo: Os dados da solução de elementos finitos (incluindo derivadas) das células que circundam um vértice específico da malha são enviados para esse vértice. Um polinômio HWENO (Hermite WENO) de média de vértice é então construído no vértice.
   • Reconstrução: Para uma célula alvo, a reconstrução combina a aproximação de elementos finitos da própria célula com os polinômios HWENO baseados em vértices associados aos vértices da célula.
   • Benefício: Isso incorpora informações de vizinhos de vértice sem expandir explicitamente o tamanho da estêncila de reconstrução ou adicionar novos polinômios candidatos. O processo mitiga a impregnação de malha e o viés direcional, mantendo uma estêncila compacta comparável às abordagens tradicionais célula-célula.

2. Dissipação de Captura de Choque por Quadratura:

   • Os autores propõem um método para localizar a viscosidade artificial dentro de um elemento sem decompor o elemento em subcélulas.
   • Mecanismo: Os pesos de quadratura lineares padrão usados para calcular o termo de estabilização são substituídos por fatores de escala do tipo WENO não lineares. Esses fatores são derivados de sensores de suavidade pontuais (baseados no gradiente da solução nos pontos de quadratura).
   • Conservação: Os fatores de escala são normalizados de modo que a taxa de dissipação total dentro do elemento permaneça exatamente igual à taxa de dissipação uniforme original.
   • Efeito: Isso concentra a dissipação próximo a gradientes acentuados (descontinuidades) enquanto minimiza a dissipação em partes suaves de células "problemáticas", efetivamente mimetizando a localização subcelular com regras de quadratura padrão.

Principais Contribuições

• Nova Estratégia de Reconstrução: A introdução do esquema WENO célula-vértice, que utiliza dados HWENO de média de vértice para melhorar a robustez e a precisão das reconstruções de ordem elevada tanto em malhas estruturadas quanto não estruturadas.
• Localização Baseada em Quadratura: Uma nova técnica para redistribuir a viscosidade artificial dentro de elementos de ordem elevada usando pesos de quadratura não lineares, oferecendo uma alternativa computacionalmente eficiente à decomposição subcelular.
• Framework Unificado: A aplicação dessas melhorias tanto para formulações CG quanto DG dentro de um framework de estabilização baseado em dissipação, demonstrando que métodos CG de ordem elevada podem alcançar robustez comparável aos métodos DG quando equipados com estas técnicas.

Resultados Numéricos
Os autores validam os esquemas propostos (denotados como CV-WENO e CV-WENO-SC para a versão com quadratura aprimorada) contra esquemas CC-WENO (célula-célula) padrão usando uma série de casos de teste 1D e 2D:

• Rotação de Corpo Rígido (Advecção Linear): Para graus polinomiais elevados ($p=4$), o esquema CV-WENO supera significativamente o CC-WENO na captura de características suaves e descontínuas, reduzindo os erros $L_1$. A versão aprimorada por quadratura (CV-WENO-SC) reduz ainda mais os erros.
• Equação de Burgers Não Viscosa: Os esquemas alcançam taxas de convergência ótimas ($p+1$) em regimes suaves. Na presença de choques, CV-WENO e CV-WENO-SC produzem soluções não oscilatórias comparáveis ao CC-WENO.
• Problema KPP: O esquema captura com sucesso a estrutura de onda rotacional deste problema não linear desafiador, demonstrando estabilidade de entropia numérica sem a necessidade de correções de entropia explícitas.
• Equações de Euler (Dinâmica de Gases):
  • Tubo de Choque de Sod Modificado: O esquema CV-WENO mantém a estabilidade de entropia e resolve choques com precisão para ambas as formulações CG e DG, mesmo em graus polinomiais muito elevados ($p=32$).
  • Onda de Explosão de Woodward-Colella: O esquema mantém a positividade da densidade e da pressão sem limitadores adicionais. A dissipação dirigida por quadratura (CV-WENO-SC) melhora a resolução de picos de densidade para $p \ge 4$.
  • Reflexão de Mach Dupla: O esquema resolve com sucesso a região complexa de triplo ponto e choques fortes em 2D, suprimindo oscilações não físicas.

Significância e Alegações
O artigo afirma que a abordagem WENO célula-vértice e a dissipação dirigida por quadratura fornecem uma alternativa convincente aos esquemas de reconstrução célula-célula padrão e esquemas de captura de choque subcelular.

• Precisão e Robustez: Os métodos demonstram melhorias substanciais na precisão e robustez para elementos de ordem elevada, particularmente em malhas grosseiras onde métodos de ordem elevada tradicionais enfrentam dificuldades.
• Eficiência: A localização por quadratura alcança o efeito da localização de dissipação subcelular sem o custo computacional da decomposição subcelular.
• Generalidade: A abordagem é aplicável tanto a métodos CG quanto DG e não depende de estruturas de malha específicas, embora os experimentos numéricos atuais sejam limitados a malhas estruturadas uniformes.
• Modéstia: Os autores observam que, embora os esquemas pareçam numericamente estáveis em termos de entropia, uma prova formal de desigualdades de entropia discretas não é fornecida, o que é consistente com as limitações da maioria dos esquemas WENO existentes. Eles também reconhecem que, embora o esquema seja robusto, não há garantia de que seja preservador de domínio invariante (IDP) em todos os casos sem limitação adicional (ex: o limitador de Zhang-Shu), embora a limitação convexa possa ser aplicada se necessário.