Degeneracies and modelling choices in double-plane time-delay cosmography

Titolo: Degenerazioni e scelte di modellazione nella cosmografia dei ritardi temporali a doppio piano

Problema
La lente gravitazionale a doppio piano, in cui la luce di una sorgente distante è deviata da due oggetti in primo piano a redshift differenti, offre un'opportunità unica per vincolare simultaneamente la costante di Hubble ($H_0$) e l'equazione di stato dell'energia oscura ($w(z)$). Tuttavia, la precisione di tali vincoli è fondamentalmente limitata dalla degenerazione massa-foglio (MSD). Nel lensing a singolo piano, la MSD impedisce la determinazione dei profili di massa assoluti utilizzando solo le immagini. Nei sistemi a doppio piano, questa degenerazione è aggravata dalla presenza di materia lungo la linea di vista (LOS), che introduce termini di convergenza che modificano le distanze di diametro angolare. Una sfida critica identificata in questo lavoro è la pratica comune di fissare il "fattore di scala cosmologico" ($\eta$) — un rapporto tra distanze di diametro angolare — utilizzando priori cosmologici esterni. Gli autori sostengono che, poiché i termini di convergenza della LOS sono assorbiti nelle quantità di lensing misurate, $\eta$ non può essere semplicemente fissato da un modello cosmologico di fondo senza tenere conto dell'incertezza introdotta da queste degenerazioni.

Metodologia
Il documento sviluppa un formalismo per il lensing a doppio piano che incorpora esplicitamente le correzioni di weak-lensing dalla linea di vista.

1. Sviluppo del formalismo: Basandosi sulle equazioni di lensing multi-piano (Schneider 2014; Fleury et al. 2021a), gli autori definiscono le equazioni di lente per un sistema con tre piani (due lenti, una sorgente) includendo i termini di convergenza della LOS ($\kappa$). Dimostrano che questi termini di convergenza sono implicitamente assorbiti nei potenziali di lensing misurati ($\psi$), negli angoli di spostamento ($\alpha$) e nel fattore di scala ($\eta$).
2. Generalizzazione della trasformazione massa-foglio (MSD): Gli autori generalizzano la MSD a doppio piano per i casi in cui il fattore di scala $\eta$ non è fissato ma è un parametro libero derivato dalle osservabili di lensing. Derivano le regole di trasformazione per i potenziali di lensing e il fattore di scala che preservano le posizioni delle immagini osservate e la morfologia della sorgente fino a una riscalatura uniforme.
3. Analisi del ritardo temporale: Gli autori analizzano i potenziali di Fermat e le funzioni di ritardo temporale sotto queste trasformazioni. Fondamentalmente, utilizzano la "relazione di srotolamento" (unfolding relation) ($\tau_{13}^{-1} = \tau_{12}^{-1} + \tau_{23}^{-1}$), una relazione geometrica tra le scale di ritardo temporale che si mantiene anche in presenza di correzioni di weak-lensing.
4. Derivazione dei vincoli: Imponendo la relazione di srotolamento all'interno del framework trasformato dalla massa-foglio, gli autori dimostrano che la complessa funzione di ritardo temporale si semplifica. Dimostrano che l'incertezza nella costante di Hubble si riduce a termini specifici e gestibili, piuttosto che a una degenerazione ampia che coinvolge l'intero sistema.

Contributi chiave e risultati

• Rifiuto dei priori fissi per $\eta$: Il documento mostra esplicitamente che i termini di convergenza della LOS modificano le distanze di diametro angolare in modo tale che il fattore di scala misurato $\eta$ differisca dal valore cosmologico di fondo. Di conseguenza, fissare $\eta$ utilizzando standard priori cosmologici senza tenere conto dell'incertezza della LOS è teoricamente inconsistente.
• Semplificazione tramite la relazione di srotolamento: Gli autori dimostrano che imponendo la relazione geometrica tra le scale di ritardo temporale ($\tau_{12}$, $\tau_{23}$ e $\eta$), i termini della funzione di ritardo temporale che dipendono dalla riscalatura della posizione della sorgente si annullano. Ciò permette alla funzione di ritardo temporale di essere espressa in termini di una singola scala di ritardo temporale.
• Disaccoppiamento dell'incertezza di $H_0$: Il risultato centrale è che l'incertezza nelle misurazioni di $H_0$ da lenti a doppio piano è limitata solo da:
  1. Il parametro di trasformazione massa-foglio ($\lambda$) del primo piano di lente.
  2. Il contributo di convergenza della LOS tra l'osservatore e il primo redshift della sorgente/secondo piano di lente ($\kappa_{12}^{LOS}$).
  3. Errori di misura nei ritardi temporali e nelle immagini.
     Fondamentalmente, gli autori mostrano che le incertezze riguardanti il valore reale di $\eta$, il contributo della LOS tra il primo e il secondo piano di sorgente ($\kappa_{23}^{LOS}$), o il profilo di massa della seconda lente, non si propagano nei vincoli su $H_0$, a condizione che la relazione di srotolamento sia imposta.
• Prescrizione per la modellazione: Il documento fornisce una prescrizione per ridurre i gradi di libertà nei modelli a doppio piano. Suggerisce che $H_0$ può essere vincolata modellando il primo piano di lente (per determinare $\lambda$) e stimando la convergenza della LOS fino al primo redshift della sorgente (tramite conteggio delle galassie o weak lensing), senza la necessità di risolvere completamente il complesso profilo di massa della seconda lente o della sorgente distante.

Significatività
Il documento sostiene che la sua principale significatività risieda nel fornire un framework robusto per gestire le degenerazioni nella cosmografia dei ritardi temporali a doppio piano. Chiarendo come gli effetti della LOS si accoppino al fattore di scala e alle scale di ritardo temporale, gli autori argomentano che la "tensione di Hubble" può essere affrontata utilizzando sistemi a doppio piano senza essere ostacolata dalla piena complessità della MSD a doppio piano. Il lavoro dimostra che i bias sistematici in $\eta$ (che sono indipendenti da $H_0$) non si propagano nei vincoli su $H_0$ se le relazioni geometriche tra le scale di ritardo temporale sono rispettate. Questa scoperta suggerisce che i sistemi a doppio piano, come il recentemente scoperto J1721+8842, possono fornire vincoli simultanei e indipendenti su $H_0$ e l'energia oscura, a condizione che le scelte di modellazione aderiscano alle prescrizioni derivate riguardo al fattore di scala e alla convergenza della LOS. Gli autori sottolineano che questo approccio consente la riduzione sicura della libertà del modello mantenendo l'integrità della correzione della MSD.