Degeneracies and modelling choices in double-plane time-delay cosmography

Titel: Degeneraties en modelleringskeuzes in double-plane time-delay cosmografie

Probleemstelling
Double-plane gravitationele lensing, waarbij licht van een verre bron wordt gelensd door twee voorgrondobjecten op verschillende roodverschuivingen, biedt een unieke kans om simultaan de Hubble-constante ($H_0$) en de toestandsvergelijking van donkere energie ($w(z)$) te beperken. Echter, de precisie van deze beperkingen wordt fundamenteel beperkt door de mass-sheet degeneratie (MSD). In single-plane lensing voorkomt de MSD het bepalen van absolute massaprofielen op basis van alleen beeldvorming. In double-plane systemen wordt deze degeneratie verergerd door de aanwezigheid van line-of-sight (LOS) materie, die convergentietermen introduceert die hoekdiameterafstanden modificeren. Een kritieke uitdaging die in dit werk wordt geïdentificeerd, is de algemene praktijk van het vastleggen van de "kosmologische schaleringsfactor" ($\eta$) — een ratio van hoekdiameterafstanden — met behulp van externe kosmologische priors. De auteurs stellen dat, omdat LOS-convergentietermen worden geabsorbeerd in de gemeten lensing-grootheden, $\eta$ niet simpelweg kan worden vastgelegd door een achtergrond kosmologisch model zonder rekening te houden met de onzekerheid die door deze degeneraties wordt geïntroduceerd.

Methodologie
Het artikel ontwikkelt een formalisme voor double-plane lensing dat expliciet zwakke lensing-correcties van de line-of-sight incorporeert.

1. Ontwikkeling van het formalisme: Bouwend op de multi-plane lensing vergelijkingen (Schneider 2014; Fleury et al. 2021a), definiëren de auteurs de lensvergelijkingen voor een systeem met drie vlakken (twee lenzen, één bron) inclusief LOS-convergentietermen ($\kappa$). Zij demonstreren dat deze convergentietermen impliciet worden geabsorbeerd in de gemeten lensing-potentialen ($\psi$), verplaatsingshoeken ($\alpha$) en de schaleringsfactor ($\eta$).
2. Gegeneraliseerde Mass-Sheet Transformatie (MSD): De auteurs generaliseren de double-plane MSD naar gevallen waarin de schaleringsfactor $\eta$ niet vaststaat, maar een vrije parameter is afgeleid van lensing-observabelen. Zij leiden de transformatieregels af voor de lensing-potentialen en de schaleringsfactor die de geobserveerde beeldposities en bronmorfologie behouden tot een uniforme herschaling.
3. Time-Delay Analyse: De auteurs analyseren de Fermat-potentialen en de time-delay functies onder deze transformaties. Cruciaal is dat zij gebruikmaken van de "unfolding relatie" ($\tau_{13}^{-1} = \tau_{12}^{-1} + \tau_{23}^{-1}$), een geometrische relatie tussen time-delay schalen die standhoudt, zelfs in de aanwezigheid van zwakke lensing-correcties.
4. Afleiding van Beperkingen: Door de unfolding relatie binnen het mass-sheet getransformeerde kader af te dwingen, tonen de auteurs aan dat de complexe time-delay functie vereenvoudigt. Zij demonstreren dat de onzekerheid in de Hubble-constante reduceert tot specifieke, beheersbare termen in plaats van een brede degeneratie die het gehele systeem omvat.

Kernbijdragen en Resultaten

• Verwerping van vaste priors voor $\eta$: Het artikel toont expliciet aan dat LOS-convergentietermen de hoekdiameterafstanden modificeren zodanig dat de gemeten schaleringsfactor $\eta$ verschilt van de achtergrond kosmologische waarde. Bijgevolg is het vastleggen van $\eta$ met standaard kosmologische priors zonder rekening te houden met de LOS-onzekerheid theoretisch inconsistent.
• Vereenvoudiging via de Unfolding Relatie: De auteurs bewijzen dat door de geometrische relatie tussen de time-delay schalen ($\tau_{12}$, $\tau_{23}$, en $\eta$) af te dwingen, de termen in de time-delay functie die afhangen van de onbekende bronpositie-herschaling wegvallen. Dit maakt het mogelijk om de time-delay functie uit te drukken in termen van een enkele time-delay schaal.
• Ontkoppeling van de $H_0$-onzekerheid: Het centrale resultaat is dat de onzekerheid in $H_0$-metingen van double-plane lenzen uitsluitend wordt beperkt door:
  1. De mass-sheet transformatie parameter ($\lambda$) van het eerste lensvlak.
  2. De LOS-convergentie bijdrage tussen de waarnemer en het eerste bron-roodverschuivingsniveau ($\kappa_{12}^{LOS}$).
  3. Meetfouten in time delays en beeldvorming.
     Cruciaal is dat de auteurs laten zien dat onzekerheden met betrekking tot de ware waarde van $\eta$, de LOS-bijdrage tussen het eerste en tweede bronvlak ($\kappa_{23}^{LOS}$), of het massaprofiel van de tweede lens niet propageren naar de beperkingen op $H_0$, mits de unfolding relatie wordt afgedwongen.
• Voorschrift voor Modellering: Het artikel biedt een voorschrift voor het reduceren van de vrijheidsgraden in double-plane modellen. Het suggereert dat $H_0$ kan worden beperkt door het eerste lensvlak te modelleren (om $\lambda$ te bepalen) en de LOS-convergentie tot aan de eerste bron-roodverschuiving te schatten (via sterrenstelsel-tellingen of zwakke lensing), zonder de noodzaak om het complexe massaprofiel van de tweede lens of de verre bron volledig te ontrafelen.

Significantie
Het artikel claimt dat de primaire significantie ligt in het bieden van een robuust kader voor het afhandelen van degeneraties in double-plane time-delay cosmografie. Door te verduidelijken hoe LOS-effecten koppelen aan de schaleringsfactor en time-delay schalen, betogen de auteurs dat de "Hubble tension" kan worden aangepakt met behulp van double-plane systemen zonder gehinderd te worden door de volledige complexiteit van de double-plane MSD. Het werk demonstreert dat de systematische biases in $\eta$ (die onafhankelijk zijn van $H_0$) niet propageren naar $H_0$-beperkingen als de geometrische relaties tussen de time-delay schalen worden gerespecteerd. Deze bevinding suggereert dat double-plane systemen, zoals de recent ontdekte J1721+8842, simultane en onafhankelijke beperkingen op $H_0$ en donkere energie kunnen bieden, mits de modelleringskeuzes voldoen aan de afgeleide voorschriften met betrekking tot de schaleringsfactor en LOS-convergentie. De auteurs benadrukken dat deze aanpak het veilige reduceren van modelvrijheid mogelijk maakt terwijl de integriteit van de MSD-correctie behouden blijft.