Comparing Numbers of Diagonal Subsemigroups and Congruences for Semigroups

Titolo

Confronto tra il numero di sottosemigruppi diagonali e le congruenze per i semigruppi

1. Problema e Contesto

L'articolo indaga la relazione quantitativa tra due concetti fondamentali nella teoria dei semigruppi: le congruenze e i sottosemigruppi diagonali.

• Una congruenza su un semigruppo $S$ è una relazione di equivalenza compatibile con la moltiplicazione.
• Un sottosemigruppo diagonale è una relazione riflessiva e compatibile su $S$ (ovvero un sottosemigruppo di $S \times S$ che contiene la diagonale $\Delta_S = \{(s,s) : s \in S\}$).

Ogni congruenza è un sottosemigruppo diagonale, ma non viceversa. In un lavoro precedente, gli autori hanno dimostrato che per un semigruppo finito $S$, ogni sottosemigruppo diagonale è una congruenza se e solo se $S$ è un gruppo.

Per quantificare quanto un semigruppo finito si avvicini a questa proprietà (essere un gruppo), gli autori definiscono il coefficiente DSC ($\chi(S)$) come il rapporto tra il numero di congruenze e il numero di sottosemigruppi diagonali:
$$\chi(S) = \frac{|\text{Cong}(S)|}{|\text{Diag}(S)|}$$
Dato che l'insieme delle congruenze è un sottoinsieme di quello dei sottosemigruppi diagonali, $\chi(S) \in \mathbb{Q} \cap (0, 1]$. Il valore $\chi(S) = 1$ corrisponde esattamente ai gruppi.

Obiettivo principale: Determinare l'insieme dei valori possibili per $\chi(S)$ al variare di $S$ tra tutti i semigruppi finiti. In particolare, gli autori vogliono dimostrare che il coefficiente può assumere qualsiasi valore razionale nell'intervallo $(0, 1]$.

2. Metodologia

Per raggiungere questo obiettivo, gli autori utilizzano la costruzione dei semigruppi di matrice di Rees, che forniscono una descrizione strutturale completa dei semigruppi completamente semplici.

La metodologia si articola in tre fasi principali:

1. Caratterizzazione dei sottosemigruppi diagonali:
   Gli autori estendono il noto teorema di Preston sulla classificazione delle congruenze nei semigruppi di matrice di Rees $M[G; I, \Lambda; P]$ (dove $G$ è un gruppo, $I$ e $\Lambda$ sono indici e $P$ è una matrice di parametri).

   • Le congruenze sono in corrispondenza biunivoca con le terne di equivalenza collegate $(N, S, T)$, dove $N$ è un sottogruppo normale di $G$, e $S, T$ sono relazioni di equivalenza su $I$ e $\Lambda$ rispettivamente, soggette a vincoli di "collegamento" tramite la matrice $P$.
   • Gli autori dimostrano che, assumendo che il gruppo $G$ abbia la proprietà DSC (tutti i sottosemigruppi diagonali sono congruenze, vero per ogni gruppo finito), i sottosemigruppi diagonali su $M[G; I, \Lambda; P]$ sono in corrispondenza biunivoca con le terne riflessive collegate $(N, S, T)$, dove $S$ e $T$ sono solo relazioni riflessive (non necessariamente di equivalenza).

2. Calcolo del coefficiente $\chi(S)$:
   Sfruttando la corrispondenza biunivoca, il coefficiente $\chi(S)$ viene espresso come il rapporto tra il numero di terne di equivalenza collegate e il numero di terne riflessive collegate.
   $$\chi(M[G; I, \Lambda; P]) = \frac{\sum_k |E_{I,k}| \cdot |E_{\Lambda,k}|}{\sum_k |R_{I,k}| \cdot |R_{\Lambda,k}|}$$
   Dove le somme sono estese ai sottogruppi normali $N_k$ di $G$, e le quantità $|E|$ e $|R|$ dipendono dal numero di relazioni di equivalenza e riflessive compatibili con la struttura della matrice $P$ rispetto a $N_k$.

3. Costruzione di esempi specifici:
   Per dimostrare che ogni razionale è ottenibile, gli autori costruiscono semigruppi di matrice di Rees specifici scegliendo:

   • Gruppi ciclici $G = \mathbb{Z}_{p^k}$ (dove $p$ è un primo sufficientemente grande).
   • Matrici $P$ con entrate scelte in modo che gli "estratti" della matrice (combinazioni di elementi di $P$ usati nei vincoli di collegamento) generino sottogruppi specifici della catena dei sottogruppi normali di $G$.
     Questo controllo permette di manipolare il numero di terne collegate, rendendo il coefficiente $\chi(S)$ una funzione razionale di parametri interi ($c$ e $d$) che possono essere scelti arbitrariamente per ottenere qualsiasi $\alpha \in \mathbb{Q} \cap (0, 1]$.

3. Risultati Chiave

• Teorema 1.2 (Risultato Principale): Per ogni numero razionale $\alpha \in (0, 1]$, esiste un semigruppo finito $S$ tale che $\chi(S) = \alpha$.

  • Se $\alpha = 1$, $S$ è un gruppo.
  • Se $\alpha < 1$, $S$ è un semigruppo di matrice di Rees costruito come descritto sopra.

• Teorema 3.4 (Limiti per i semigruppi di Rees): Per un semigruppo di matrice di Rees su insiemi di indici di dimensioni $a, b > 1$, il coefficiente $\chi(S)$ è limitato inferiormente dal coefficiente della banda rettangolare corrispondente:
  $$\frac{B(a)B(b)}{2^{a^2-a} 2^{b^2-b}} \le \chi(S) < 1$$
  Dove $B(n)$ è il numero di Bell (numero di relazioni di equivalenza su un insieme di $n$ elementi). Gli autori dimostrano che ogni valore razionale in questo intervallo (e fino a 1) è ottenibile variando la struttura del gruppo e della matrice.

• Osservazioni sui semigruppi di Clifford: Nella sezione conclusiva, gli autori analizzano i semigruppi di Clifford. Dimostrano che per un semigruppo di Clifford finito $S$, il coefficiente soddisfa $0 < \chi(S) \le \chi(Y)$, dove $Y$ è il semilattice sottostante. Questo suggerisce che per i semigruppi di Clifford, i valori possibili di $\chi(S)$ potrebbero essere molto più ristretti (convergenti verso 0 all'aumentare della dimensione) rispetto ai semigruppi di Rees.

4. Significato e Contributi

1. Completezza dello spettro dei valori: Il risultato principale risolve completamente la questione sulla "spettro" del coefficiente DSC, dimostrando che non ci sono "buchi" nell'intervallo dei razionali tra 0 e 1. Questo è un risultato sorprendente data la natura combinatoria complessa delle strutture algebriche coinvolte.
2. Generalizzazione della classificazione: Il lavoro fornisce una classificazione dettagliata e nuova dei sottosemigruppi diagonali sui semigruppi di matrice di Rees, estendendo la teoria classica delle congruenze a una classe più ampia di relazioni (quelle riflessive).
3. Strumenti combinatori: L'uso di gruppi ciclici con indici primi grandi e la manipolazione degli estratti della matrice $P$ offre un nuovo metodo potente per controllare le proprietà strutturali dei semigruppi finiti.
4. Distinzione tra classi di semigruppi: Il confronto tra i risultati per i semigruppi di Rees (che possono generare qualsiasi razionale) e i semigruppi di Clifford (che sembrano avere limiti più severi) apre nuove direzioni di ricerca sulla relazione tra la struttura algebrica e la densità delle congruenze rispetto ai sottosemigruppi diagonali.

In sintesi, il paper stabilisce che la "distanza" tra la proprietà di essere un gruppo e quella di essere un semigruppo arbitrario, misurata dal coefficiente $\chi(S)$, può essere calibrata con precisione arbitraria, coprendo l'intero spettro dei numeri razionali nell'intervallo unitario.