Comparing Numbers of Diagonal Subsemigroups and Congruences for Semigroups

Probleemstelling en Context

Het artikel onderzoekt de relatie tussen twee fundamentele structuren in de semigroeptheorie: congruenties en diagonale subsemigroepen.

• Een congruentie op een semigroep $S$ is een equivalentierelatie die compatibel is met de vermenigvuldiging.
• Een diagonale subsemigroep is een reflexieve en compatibele relatie op $S$ (een subsemigroep van $S \times S$ die de diagonaal $\{(s,s) : s \in S\}$ bevat).

Elke congruentie is een diagonale subsemigroep, maar het omgekeerde geldt niet altijd. In eerdere werk stelden de auteurs vast dat voor een eindige semigroep $S$, elke diagonale subsemigroep een congruentie is (d.w.z. $S$ is een "DSC-semigroep") dan en slechts dan als $S$ een groep is.

Om te kwantificeren hoe "dicht" een semigroep bij deze eigenschap staat, definiëren de auteurs de DSC-coëfficiënt $\chi(S)$:
$$\chi(S) = \frac{|\text{Cong}(S)|}{|\text{Diag}(S)|}$$
waarbij $|\text{Cong}(S)|$ het aantal congruenties is en $|\text{Diag}(S)|$ het aantal diagonale subsemigroepen.

• Voor een groep geldt $\chi(S) = 1$.
• Voor andere eindige semigroepen geldt $0 < \chi(S) < 1$.

De centrale vraag: Welke waarden kan $\chi(S)$ aannemen wanneer $S$ door alle eindige semigroepen varieert? De auteurs bewijzen dat $\chi(S)$ elke rationale waarde in het interval $(0, 1]$ kan aannemen.

Methodologie

De auteurs gebruiken een constructieve aanpak gebaseerd op Rees-matrixsemigroepen en Clifford-semigroepen.

1. Rees-matrixsemigroepen

De kern van het bewijs ligt in het analyseren van semigroepen van de vorm $M[G; I, \Lambda; P]$, waarbij:

• $G$ een groep is.
• $I$ en $\Lambda$ indexverzamelingen zijn.
• $P$ een $\Lambda \times I$-matrix is met elementen uit $G$.

Stap 1: Karakterisering van Diagonale Subsemigroepen
De auteurs generaliseren een bestaande classificatie van congruenties (van Preston) naar diagonale subsemigroepen.

• Congruenties corresponderen met gekoppelde equivalentiedrietallen $(N, S, T)$, waarbij $N$ een normaaldeeltje van $G$ is en $S, T$ equivalentierelaties zijn op respectievelijk $I$ en $\Lambda$.
• Diagonale subsemigroepen corresponderen met gekoppelde reflexieve drietallen $(N, S, T)$, waarbij $S$ en $T$ slechts reflexieve relaties hoeven te zijn (niet noodzakelijk equivalentierelaties).
• Deze correspondentie is een bijectie, mits de onderliggende groep $G$ zelf een DSC-groep is (wat voor alle eindige groepen geldt).

Stap 2: Berekening van de Coëfficiënt
De DSC-coëfficiënt wordt uitgedrukt als de verhouding tussen het aantal gekoppelde equivalentiedrietallen en het aantal gekoppelde reflexieve drietallen:
$$\chi(M[G; I, \Lambda; P]) = \frac{\sum_k |E_{I,k}| \cdot |E_{\Lambda,k}|}{\sum_k |R_{I,k}| \cdot |R_{\Lambda,k}|}$$
Hierbij hangen de aantallen af van de normaaldeeltjes van $G$ en de structuur van de matrix $P$ (via "extracten" $q_{\lambda\mu ij}$).

Stap 3: Constructie voor Rationale Waarden
Om elke rationale $\alpha \in (0, 1]$ te bereiken, construeren de auteurs specifieke Rees-matrixsemigroepen:

• Ze kiezen $G$ als een cyclische groep van orde $p^k$ (waar $p$ een priemgetal is).
• Ze construeren de matrix $P$ zodanig dat de extracten $q_{\lambda\mu ij}$ specifieke eigenschappen hebben ten opzichte van de normaaldeeltjesketen van $G$.
• Door de parameters zorgvuldig te kiezen (aantal normaaldeeltjes die de extracten bevatten versus die dat niet doen), kunnen ze de verhouding in de formule manipuleren tot elke gewenste rationale waarde.

4. Clifford-semigroepen (Vergelijkend)

In de conclusie vergelijken de auteurs hun resultaten met Clifford-semigroepen. Voor deze klasse geldt dat $\chi(S)$ begrensd wordt door $\chi(Y)$, waarbij $Y$ de onderliggende semilattice is. Dit resulteert in veel smallere intervallen voor mogelijke waarden, in tegenstelling tot de volledige dekking die bij Rees-matrixsemigroepen wordt gevonden.

Belangrijkste Resultaten

1. Hoofdstelling (Theorema 1.2):
   Voor elke rationale getal $\alpha \in \mathbb{Q} \cap (0, 1]$ bestaat er een eindige semigroep $S$ zodanig dat $\chi(S) = \alpha$.

   • Dit bevestigt dat het spectrum van de DSC-coëfficiënt precies het interval $(0, 1]$ is (beperkt tot rationale getallen).

2. Karakterisering via Rees-matrixsemigroepen (Theorema 3.4):
   Voor Rees-matrixsemigroepen $M[G; I, \Lambda; P]$ met indexverzamelingen van grootte $a$ en $b$ ($a,b > 1$), geldt:
   $$\frac{B(a)B(b)}{2^{a^2-a}2^{b^2-b}} \leq \chi(S) < 1$$
   waarbij $B(n)$ het $n$-de Bell-getal is (aantal equivalentierelaties op een verzameling van grootte $n$).

   • De auteurs bewijzen dat binnen dit interval elke rationale waarde bereikt kan worden door de juiste groep $G$ en matrix $P$ te kiezen.
   • De ondergrens komt overeen met de DSC-coëfficiënt van een rechthoekige band (het geval waar $G$ triviaal is).

3. Bijdrage aan de classificatie:
   Het artikel levert een volledige beschrijving van diagonale subsemigroepen voor Rees-matrixsemigroepen over DSC-groepen, wat een analogie vormt met de klassieke beschrijving van congruenties.

Significantie en Impact

• Completie van het Spectrum: Het artikel lost een fundamentele vraag op over de mogelijke waarden van de verhouding tussen congruenties en diagonale subsemigroepen. Het toont aan dat er geen "gaten" zijn in de rationale waarden die deze coëfficiënt kan aannemen.
• Methodologische Innovatie: De ontwikkeling van de theorie van "gekoppelde reflexieve drietallen" als een analogie voor "gekoppelde equivalentiedrietallen" biedt een nieuw instrument voor het tellen en classificeren van substructuren in semigroepen.
• Contrast tussen Semigroepklassen: Het werk benadrukt het fundamentele verschil tussen Rees-matrixsemigroepen (die een zeer rijk spectrum van waarden toelaten) en Clifford-semigroepen (waar de coëfficiënt sterk beperkt wordt door de onderliggende semilattice). Dit geeft inzicht in hoe de algebraïsche structuur de "rigiditeit" van de semigroep beïnvloedt.
• Toepassingsbereik: De resultaten zijn relevant voor de structurele theorie van semigroepen, met name voor het begrijpen van de complexiteit van congruentielattices en hun relatie tot bredere reflexieve relaties.

Samenvattend biedt dit artikel een wiskundig sluitend antwoord op de vraag hoe "groep-achtig" een eindige semigroep kan zijn, gemeten aan de hand van de verhouding tussen zijn congruenties en diagonale subsemigroepen, en bewijst dat elke rationale mate van "groep-achtigheid" realiseerbaar is.