Comparing Numbers of Diagonal Subsemigroups and Congruences for Semigroups

Título: Comparação de Números de Subsemigrupos Diagonais e Congruências para Semigrupos

1. Problema e Contexto

O artigo aborda um problema fundamental na teoria de semigrupos: a relação entre congruências e subsemigrupos diagonais.

• Definições Chave:
  • Uma congruência em um semigrupo $S$ é uma relação de equivalência compatível com a multiplicação.
  • Um subsemigrupo diagonal é uma relação reflexiva e compatível com a multiplicação em $S$ (ou seja, um subsemigrupo de $S \times S$ que contém a diagonal $\Delta_S = \{(s,s) : s \in S\}$).
  • Todo congruência é um subsemigrupo diagonal, mas a recíproca nem sempre é verdadeira.
• O Coeficiente DSC: Os autores definem o coeficiente DSC ($\chi(S)$) para um semigrupo finito $S$ como a razão entre o número de congruências e o número de subsemigrupos diagonais:
  $$\chi(S) = \frac{|\text{Cong}(S)|}{|\text{Diag}(S)|}$$
  Sabe-se que $0 < \chi(S) \leq 1$.
• Motivação: Em trabalho anterior, os autores demonstraram que $\chi(S) = 1$ se e somente se $S$ é um grupo. O problema central deste artigo é investigar quais valores racionais $\alpha \in (0, 1]$ o coeficiente $\chi(S)$ pode assumir quando $S$ varia sobre todos os semigrupos finitos. A questão é: O espectro de valores de $\chi(S)$ é denso ou cobre todo o intervalo $(0, 1] \cap \mathbb{Q}$?

2. Metodologia

A estratégia principal dos autores baseia-se na construção de semigrupos específicos utilizando a Construção de Matriz de Rees e, secundariamente, na análise de Semigrupos de Clifford.

A. Construção de Matriz de Rees

Os autores utilizam semigrupos da forma $S = M[G; I, \Lambda; P]$, onde:

• $G$ é um grupo.
• $I$ e $\Lambda$ são conjuntos de índices.
• $P$ é uma matriz $\Lambda \times I$ com entradas em $G$.
• A multiplicação é definida por $(i, g, \lambda)(j, h, \mu) = (i, g p_{\lambda j} h, \mu)$.

B. Classificação Estrutural

Para calcular $\chi(S)$, os autores estabelecem uma correspondência biunívoca (bijecção) entre:

1. Congruências em $S$ e Triplos de Equivalência Vinculados $(N, S, T)$, onde $N$ é um subgrupo normal de $G$, e $S, T$ são relações de equivalência em $I$ e $\Lambda$, respectivamente, satisfazendo certas condições de "vinculação" (linked) envolvendo a matriz $P$.
2. Subsemigrupos Diagonais em $S$ e Triplos Reflexivos Vinculados $(N, S, T)$, onde $S$ e $T$ são apenas relações reflexivas (não necessariamente de equivalência), sob a condição de que o grupo $G$ seja um semigrupo DSC (o que é verdade para todo grupo finito).

C. Cálculo do Coeficiente

O coeficiente $\chi(S)$ é expresso como uma soma ponderada de razões entre o número de triplos de equivalência e o número de triplos reflexivos para cada subgrupo normal de $G$.

• O número de relações de equivalência em um conjunto de tamanho $n$ é dado pelo Número de Bell $B(n)$.
• O número de relações reflexivas em um conjunto de tamanho $n$ é $2^{n^2-n}$.

3. Contribuições e Resultados Principais

Teorema Principal (Teorema 1.2)

O resultado central do artigo afirma que para qualquer número racional $\alpha$ tal que $0 < \alpha \leq 1$, existe um semigrupo finito $S$ tal que $\chi(S) = \alpha$.

Isso demonstra que o espectro de valores do coeficiente DSC é exatamente o conjunto dos racionais no intervalo $(0, 1]$.

Teorema 3.4 (Análise de Matriz de Rees)

Para conjuntos de índices $I$ e $\Lambda$ de tamanhos $a$ e $b$ ($a, b > 1$), e para qualquer grupo $G$ e matriz $P$:

1. Existe um limite inferior para o coeficiente:
   $$\frac{B(a)B(b)}{2^{a^2-a} 2^{b^2-b}} \leq \chi(M[G; I, \Lambda; P]) < 1$$
2. Dentro desse intervalo, é possível construir grupos e matrizes para obter qualquer valor racional $\alpha$ no intervalo $[ \text{limite inferior}, 1 )$.

Construção Específica:
Para provar a existência de qualquer $\alpha$, os autores constroem um grupo cíclico $G = \mathbb{Z}_{p^k}$ (onde $p$ é um primo suficientemente grande) e uma matriz $P$ com entradas específicas. Eles demonstram que, dependendo da estrutura dos subgrupos normais de $G$ e da matriz $P$, a razão entre o número de congruências e subsemigrupos diagonais pode ser ajustada para formar uma fração racional arbitrária dentro do intervalo permitido.

Análise de Semigrupos de Clifford (Seção 4)

Os autores também investigam semigrupos de Clifford (semigrupos inversos com idempotentes centrais).

• Eles mostram que para um semigrupo de Clifford $S$, $\chi(S) \leq \chi(Y)$, onde $Y$ é o semilattice subjacente.
• Diferentemente dos semigrupos de Rees, onde o intervalo de valores possíveis se expande para $(0, 1]$ à medida que os conjuntos de índices crescem, para semigrupos de Clifford, o intervalo tende a se estreitar e convergir para 0 à medida que o tamanho do semilattice aumenta. Isso destaca uma diferença fundamental na estrutura de congruências vs. subsemigrupos diagonais entre essas duas classes.

4. Significado e Implicações

1. Completude do Espectro: O trabalho resolve a questão sobre a densidade e o alcance dos valores possíveis para a "proximidade" de um semigrupo em relação à propriedade DSC (ser um grupo). Mostra-se que não há "buracos" nos valores racionais possíveis.
2. Generalização de Resultados Anteriores: Estende o resultado conhecido de que apenas grupos têm $\chi(S)=1$, mostrando que semigrupos que não são grupos podem ter coeficientes arbitrariamente próximos de 1 ou arbitrariamente próximos de 0.
3. Ferramentas Estruturais: A classificação de subsemigrupos diagonais em semigrupos de Matriz de Rees (Teorema 2.7) é uma contribuição técnica significativa, fornecendo uma ferramenta para analisar relações compatíveis em estruturas semigrupais complexas, análoga à classificação clássica de congruências de Preston.
4. Contraste entre Classes de Semigrupos: A comparação entre semigrupos de Rees e de Clifford revela como a estrutura algébrica subjacente (grupos vs. semilattices) influencia drasticamente a distribuição das relações compatíveis.

Em resumo, o artigo estabelece que a medida $\chi(S)$ é uma ferramenta versátil capaz de capturar qualquer grau de "não-grupalidade" racional em semigrupos finitos, utilizando a riqueza estrutural das matrizes de Rees para construir exemplos com propriedades exatas.