Comparing Numbers of Diagonal Subsemigroups and Congruences for Semigroups

1. Problématique et Contexte

L'article s'inscrit dans l'étude des semi-groupes et de la structure de leurs relations compatibles. Deux concepts centraux sont mis en contraste :

• Les congruences : Relations d'équivalence compatibles avec la multiplication du semi-groupe.
• Les sous-semi-groupes diagonaux (Diagonal Subsemigroups) : Relations réflexives et compatibles sur $S$ (c'est-à-dire des sous-semi-groupes de $S \times S$ contenant la diagonale $\Delta_S = \{(s,s) : s \in S\}$).

Toute congruence est un sous-semi-groupe diagonal, mais l'inverse n'est pas vrai. Les auteurs définissent un coefficient DSC ($\chi(S)$) pour un semi-groupe fini $S$ comme le rapport entre le nombre de congruences et le nombre de sous-semi-groupes diagonaux :
$$\chi(S) = \frac{|\text{Cong}(S)|}{|\text{Diag}(S)|}$$
Ce coefficient mesure à quel point un semi-groupe est "proche" d'être un groupe. Dans un travail antérieur, les auteurs ont établi que $\chi(S) = 1$ si et seulement si $S$ est un groupe.

La question centrale de cet article : Quelle est la valeur possible de $\chi(S)$ lorsque $S$ parcourt l'ensemble des semi-groupes finis ? Plus précisément, l'ensemble des valeurs possibles de $\chi(S)$ est-il dense dans l'intervalle $(0, 1]$ ou contient-il des lacunes ?

2. Méthodologie

Pour répondre à cette question, les auteurs adoptent une approche structurale basée sur la construction de matrices de Rees.

A. Construction de Matrices de Rees

Ils utilisent les semi-groupes de matrices de Rees notés $M[G; I, \Lambda; P]$, où :

• $G$ est un groupe.
• $I$ et $\Lambda$ sont des ensembles d'indices.
• $P$ est une matrice $\Lambda \times I$ à coefficients dans $G$.
  La multiplication est définie par $(i, g, \lambda)(j, h, \mu) = (i, g p_{\lambda j} h, \mu)$.

B. Classification des Relations

Le cœur de la méthodologie réside dans l'établissement d'une correspondance bijective entre les relations sur le semi-groupe de Rees et des triplets de relations sur les composantes ($G$, $I$, $\Lambda$) :

1. Pour les congruences : Utilisation du théorème de Preston [7], qui établit une bijection entre les congruences et les triplets équivalents liés $(N, S, T)$, où $N$ est un sous-groupe normal de $G$, et $S, T$ sont des relations d'équivalence sur $I$ et $\Lambda$ respectivement, satisfaisant des conditions de liaison impliquant les extraits de la matrice $P$.
2. Pour les sous-semi-groupes diagonaux : Les auteurs généralisent ce résultat. Ils montrent que si le groupe $G$ est un groupe DSC (ce qui est vrai pour tout groupe fini), il existe une bijection entre les sous-semi-groupes diagonaux de $M[G; I, \Lambda; P]$ et les triplets réflexifs liés $(N, S, T)$. La différence cruciale est que $S$ et $T$ n'ont besoin d'être que des relations réflexives (et non nécessairement des relations d'équivalence).

C. Analyse Combinatoire

Le coefficient $\chi(S)$ est alors exprimé comme un rapport de sommes de produits de tailles d'ensembles de relations :
$$\chi(S) = \frac{\sum_k |E_{I,k}| |E_{\Lambda,k}|}{\sum_k |R_{I,k}| |R_{\Lambda,k}|}$$
où $E$ désigne les ensembles de relations d'équivalence et $R$ les ensembles de relations réflexives, indexés par les sous-groupes normaux de $G$. Les auteurs utilisent les nombres de Bell ($B(n)$) pour compter les équivalences et des puissances de 2 pour les relations réflexives.

3. Résultats Principaux

Théorème 1.2 (Résultat Principal)

Pour tout nombre rationnel $\alpha \in (0, 1]$, il existe un semi-groupe fini $S$ tel que $\chi(S) = \alpha$.

Cela démontre que l'ensemble des valeurs possibles du coefficient DSC est exactement l'ensemble des rationnels dans l'intervalle $(0, 1]$.

Théorème 3.4 (Bornes pour les Matrices de Rees)

Pour des ensembles d'indices $I$ et $\Lambda$ de tailles $a$ et $b$ ($a, b > 1$), et pour tout groupe $G$ et matrice $P$ :
$$\frac{B(a)B(b)}{2^{a^2-a} 2^{b^2-b}} \le \chi(M[G; I, \Lambda; P]) < 1$$
De plus, pour tout $\alpha$ dans cet intervalle (qui tend vers $(0, 1]$ lorsque $a, b \to \infty$), il existe un choix de $G$ et $P$ tel que $\chi(S) = \alpha$.

Preuve de la construction :
Les auteurs construisent un groupe cyclique $G = \mathbb{Z}_{p^k}$ et une matrice $P$ spécifique avec des entrées soigneusement choisies (puissances de 2 multipliées par une puissance de $p$). Cette construction force les extraits de la matrice à générer des sous-groupes spécifiques, permettant de contrôler exactement combien de triplets sont "liés" pour chaque sous-groupe normal. En ajustant les paramètres $c$ et $d$ (nombre de sous-groupes où les relations sont maximales vs minimales), on peut obtenir n'importe quelle fraction rationnelle souhaitée.

Résultats sur les Semi-groupes de Clifford (Section 4)

Les auteurs étudient également les semi-groupes de Clifford (semi-groupes inverses où les idempotents sont centraux). Ils montrent que pour un semi-groupe de Clifford $S$ basé sur un treillis $Y$ :
$$0 < \chi(S) \le \chi(Y)$$
Contrairement aux matrices de Rees où l'intervalle des valeurs possibles s'élargit avec la taille des indices, pour les semi-groupes de Clifford, la valeur de $\chi(S)$ est bornée supérieurement par celle du treillis sous-jacent, qui semble converger vers 0 lorsque la taille du treillis augmente. Cela suggère que les semi-groupes de Clifford ne peuvent pas réaliser l'ensemble des rationnels dans $(0, 1]$ de la même manière flexible que les matrices de Rees.

4. Contributions Clés

1. Caractérisation complète du spectre DSC : La preuve que l'ensemble des valeurs de $\chi(S)$ pour les semi-groupes finis est exactement $\mathbb{Q} \cap (0, 1]$.
2. Classification des sous-semi-groupes diagonaux : Établissement d'une théorie structurale complète pour les sous-semi-groupes diagonaux sur les matrices de Rees, parallèle à la théorie classique des congruences, mais avec des relations réflexives au lieu d'équivalences.
3. Méthode de construction fine : Développement d'une technique utilisant des groupes cycliques et des matrices à entrées arithmétiquement contrôlées pour "ajuster" le coefficient DSC à une valeur rationnelle précise.

5. Signification et Impact

Ce travail comble une lacune importante dans la théorie des semi-groupes en quantifiant la relation entre les congruences et les relations compatibles plus générales.

• Théorique : Il montre que la propriété "être un groupe" ($\chi(S)=1$) est un cas extrême, mais que l'on peut s'approcher arbitrairement de cette propriété (ou s'en éloigner) avec une précision rationnelle arbitraire en utilisant des structures de matrices de Rees.
• Méthodologique : L'approche combinatoire reliant les nombres de Bell et les relations réflexives offre un nouvel outil pour l'analyse des structures algébriques finies.
• Comparaison des classes : La distinction faite entre les matrices de Rees (qui permettent une grande flexibilité) et les semi-groupes de Clifford (plus restrictifs) enrichit la compréhension de la diversité des comportements structurels au sein des classes de semi-groupes.

En résumé, l'article démontre que le "degré de non-groupe" d'un semi-groupe fini, mesuré par le rapport entre ses congruences et ses sous-semi-groupes diagonaux, peut être calibré avec une précision rationnelle totale.