Sequential Transport for Causal Mediation Analysis

1. Il Problema

L'analisi di mediazione causale mira a decomporre l'effetto totale di un trattamento ($A$) su un esito ($Y$) in un effetto diretto e in un effetto indiretto che opera attraverso una o più variabili mediatrici ($X$).
I metodi tradizionali si basano spesso su:

• Modelli Strutturali Causali (SCM) parametrici (es. SEM lineari), che richiedono assunzioni funzionali rigide.
• Controfattuali "cross-world": concetti teorici (es. $Y(0, X(1))$) che combinano mondi controfattuali diversi e sono spesso non identificabili senza assunzioni forti o modelli strutturali completi.
• Limiti attuali: I metodi esistenti faticano a fornire decomposizioni a livello di singolo individuo (unit-level) in contesti non parametrici, con mediatori di tipo misto (continui e categorici) o in alta dimensionalità, senza specificare la forma funzionale esatta del modello generativo dei dati.

2. Metodologia: Trasporto Sequenziale (ST)

Gli autori propongono un nuovo framework basato sul Trasporto Ottimo (Optimal Transport - OT) e sulla sua estensione sequenziale lungo un Grafo Aciclico Diretto (DAG) dei mediatori.

Concetto Chiave: Mutatis Mutandis

Invece di definire controfattuali strutturali basati su equazioni nascoste, il metodo adotta un approccio distribuzionale. L'idea è modificare il vettore dei mediatori di un individuo solo quanto necessario per allinearlo alla distribuzione dei mediatori sotto un trattamento alternativo, preservando le dipendenze causali codificate nel DAG. Questo principio è definito mutatis mutandis ("cambiando ciò che deve essere cambiato").

Algoritmo di Trasporto Sequenziale (ST)

Il metodo costruisce controfattuali deterministici per i mediatori seguendo un ordine topologico del DAG ($X_{\pi(1)} \to \dots \to X_{\pi(d)}$):

1. Ordinamento Topologico: I mediatori vengono elaborati uno alla volta secondo un ordine tale che i genitori di un nodo siano già stati processati.
2. Trasporto Condizionale:
   • Per ogni mediatore $X_j$, si calcola una mappa di trasporto che spinge la distribuzione condizionale $P(X_j | \text{genitori}, A=0)$ verso la distribuzione target $P(X_j | \text{genitori trasportati}, A=1)$.
   • Mediatori Numerici: Si utilizzano mappe di trasporto monotone basate su stimatori della CDF (Funzione di Distribuzione Cumulativa) e della quantile condizionale (spesso con kernel smoothing).
   • Mediatori Categorici: Si utilizza un trasporto basato sul simplex. Le probabilità condizionate sono mappate sul simplex, trasportate ottimalmente, e poi riconvertite in etichette categoriche (es. tramite arrotondamento deterministico o allocazione semi-discreta) per preservare le proporzioni marginali.
3. Costruzione del Controfattuale: Per un individuo non trattato ($A=0$) con mediatori osservati $x_0$, il controfattuale $x^*_1$ è ottenuto applicando ricorsivamente le mappe di trasporto lungo il DAG.

Decomposizione degli Effetti

Una volta ottenuto il vettore di mediatori controfattuale $x^*_1$, gli effetti sono definiti a livello individuale come:

• Effetto Indiretto ($\delta_i$): La differenza nell'esito prevista dal modello $A=0$ quando i mediatori passano da $x_0$ a $x^*_1$.
• Effetto Diretto ($\zeta_i$): La differenza nell'esito prevista quando il trattamento passa da $A=0$ ad $A=1$, mantenendo i mediatori fissi al loro stato controfattuale $x^*_1$.
• Effetto Totale: Somma dei due.

3. Contributi Chiave

1. Framework Unit-Level Non Parametrico: Fornisce decomposizioni di effetti diretti e indiretti a livello di singolo individuo senza assumere un SCM parametrico, utilizzando invece le distribuzioni empiriche condizionate.
2. Gestione di Mediatori Misti: Estende il trasporto ottimo a grafi con mediatori sia continui che categorici, preservando la struttura del DAG e la natura delle variabili.
3. Garanzie Teoriche: Dimostrano la consistenza delle mappe di trasporto condizionale stimate e della conseguente decomposizione degli effetti, sotto condizioni di regolarità standard (continuità, supporto comune, convergenza uniforme degli stimatori kernel).
4. Interpretabilità Causale e Distribuzionale:
   • Se il trattamento è randomizzato o ignobile (condizionato alle covariate), la decomposizione ha un'interpretazione causale.
   • In contesti osservazionali con confondimento, il metodo fornisce comunque una decomposizione distribuzionale delle differenze tra gruppi, allineata alla struttura causale assunta, utile per l'analisi di equità algoritmica.

4. Risultati

• Simulazioni Gaussiane: In scenari lineari-Gaussiani, il metodo ST recupera esattamente le formule di mediazione classica (SEM), confermando la validità teorica.
• Simulazioni Monte Carlo: In scenari non lineari con mediatori misti (continui e categorici) e DAG complessi, ST mostra:
  • Stabilità numerica e convergenza degli effetti mediati.
  • Minore dispersione rispetto al trasporto ottimo multivariato globale (che ignora la struttura del DAG).
  • Coerenza con i metodi basati su SEM lineari quando i dati sono approssimativamente lineari, ma maggiore flessibilità in regimi non lineari.
• Applicazione Reale (Dataset COMPAS):
  • Applicato all'analisi delle disparità razziali nel rischio di recidiva.
  • Il metodo attribuisce circa due terzi della disparità totale alle differenze nella distribuzione dei mediatori (es. numero di precedenti, grado dell'accusa).
  • Fornisce una decomposizione granulare a livello di mediatore, identificando quali variabili contribuiscono maggiormente alle disparità, offrendo controfattuali deterministici e coerenti con il DAG.

5. Significato e Implicazioni

Il lavoro rappresenta un ponte significativo tra la teoria del trasporto ottimo, l'inferenza causale e l'equità algoritmica.

• Superamento delle limitazioni strutturali: Elimina la necessità di specificare equazioni strutturali esatte, sostituendole con un approccio basato sui dati che rispetta la geometria delle distribuzioni osservate.
• Interpretabilità: Offre una visione "fine-grained" delle disparità, permettendo di capire non solo se c'è discriminazione, ma come essa si propaga attraverso specifici percorsi mediatori.
• Robustezza: Il metodo è robusto a modelli di esito non lineari e gestisce naturalmente variabili categoriche, un punto debole di molte tecniche di trasporto esistenti.
• Limiti e Avvertenze: Come tutti i metodi basati su dati osservazionali, l'interpretazione causale richiede l'assenza di confondimento non osservato. In assenza di tale condizione, i risultati vanno interpretati come decomposizioni distribuzionali delle differenze osservate, non come effetti causali identificati.

In sintesi, il Sequential Transport offre un metodo potente, flessibile e teoricamente fondato per analizzare i meccanismi causali in contesti complessi, rendendo l'analisi di mediazione accessibile anche quando i modelli strutturali parametrici falliscono o sono inappropriati.