An eigenvalue problem for a nonlocal quasilinear anisotropic equation in fractional Orlicz Sobolev spaces without the $\Delta_2$--condition

Titolo del Lavoro

Un problema agli autovalori per un'equazione non locale quasilineare anisotropa in spazi di Sobolev-Orlicz frazionari senza la condizione $\Delta_2$.

1. Il Problema

Il lavoro si concentra sullo studio di un problema agli autovalori associato a un operatore non locale e quasilineare di tipo frazionario, definito come:
$$L^s_a u(x) = 2 \, \text{p.v.} \int_{\mathbb{R}^n} a\left(x, y, \frac{u(x)-u(y)}{|x-y|^s}\right) \frac{dy}{|x-y|^{n+s}}$$
dove $s \in (0,1)$ è il parametro frazionario e $a(x, y, \xi)$ è una funzione che soddisfa condizioni di crescita, monotonia e simmetria.

L'equazione da risolvere è:
$$\begin{cases} L^s_a u = \lambda g(u) & \text{in } \Omega \\ u = 0 & \text{in } \mathbb{R}^n \setminus \Omega \end{cases}$$
dove $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ è un dominio aperto e limitato, $\lambda$ è il parametro autovalore e $g$ è una funzione di sorgente con crescita appropriata.

La sfida principale: Lo studio avviene nel contesto degli spazi di Sobolev-Orlicz frazionari ($W^{s}L_M$) definiti tramite una funzione di Young $M$. La novità cruciale risiede nel fatto che non si assume la condizione $\Delta_2$ sulla funzione $M$ (né sulla sua coniugata $\bar{M}$).

• Implicazione tecnica: Senza la condizione $\Delta_2$, gli spazi di Orlicz $L_M$ non sono necessariamente riflessivi né separabili, e i funzionali associati non sono differenziabili nel senso classico. Questo rende inapplicabili le tecniche variazionali standard (come il principio minimax di Courant o la teoria di Ljusternik-Schnirelmann diretta) che richiedono spazi di Banach riflessivi e funzionali $C^1$.

2. Metodologia

Gli autori adottano un approccio variazionale sofisticato che combina diverse tecniche avanzate:

1. Spazi di Sobolev-Orlicz Frazionari:
   Vengono definiti gli spazi $W^{s}L_M(\Omega)$ e $W^{s}E_M(\Omega)$ (la chiusura delle funzioni limitate). Viene sfruttata la struttura di sistemi complementari (introdotta in lavori precedenti come [29]) per gestire la mancanza di riflessività. In particolare, si considera la coppia $(W^{s}L_M, W^{s}E_M; W^{-s}L_{\bar{M}}, W^{-s}E_{\bar{M}})$ come un sistema complementare, permettendo di lavorare con la topologia debole-$\sigma$.

2. Proprietà dell'Operatore $L^s_a$:
   Viene dimostrato che l'operatore $L^s_a$ è pseudomonotono (Teorema 3.4). Questa è una proprietà fondamentale che sostituisce la monotonia stretta o la continuità forte, permettendo di superare le difficoltà legate alla non riflessività dello spazio. La dimostrazione si basa su:

   • Stime di crescita e condizioni di monotonia su $a$.
   • Un'analisi attenta della convergenza debole e delle proprietà di compattezza negli spazi $E_M$ (che sono separabili anche senza $\Delta_2$).

3. Metodo di Galerkin e Teoria di Ljusternik-Schnirelmann:
   Poiché lo spazio infinito-dimensionale non è sufficientemente regolare, gli autori utilizzano un metodo di approssimazione di Galerkin:

   • Si costruisce una successione di sottospazi finito-dimensionali $V_k \subset W^{s}E_M(\Omega)$.
   • Su ogni $V_k$, si applica la teoria classica di Ljusternik-Schnirelmann per trovare una successione di autovalori $\lambda^i_k$ e autovettori $u^i_k$.
   • Si definiscono i livelli critici $c_i$ e $c_{i,k}$ tramite il genere di Krasnoselskii.

4. Passaggio al Limite:
   Si dimostra che, al crescere della dimensione $k$, le soluzioni approssimate $(u^i_k, \lambda^i_k)$ convergono (a meno di sottosuccessioni) a una soluzione del problema originale. La convergenza è gestita grazie alla pseudomonotonia dell'operatore e alla compattezza delle immersioni negli spazi di Orlicz.

3. Contributi Chiave

• Generalizzazione degli operatori: Il modello include come casi particolari l'operatore frazionario $p$-Laplaciano, l'operatore $m$-Laplaciano frazionario e operatori con crescita non standard (es. crescita esponenziale o logaritmica), senza richiedere la condizione $\Delta_2$.
• Rimozione della condizione $\Delta_2$: Questo è il contributo teorico più significativo. La maggior parte della letteratura sugli spazi di Orlicz richiede $\Delta_2$ per garantire riflessività e separabilità. Questo lavoro estende la teoria agli autovalori anche quando tali proprietà falliscono.
• Costruzione di un sistema complementare frazionario: Viene formalizzata e utilizzata la struttura di sistema complementare per gli spazi di Sobolev-Orlicz frazionari, fornendo un quadro rigoroso per la dualità in assenza di riflessività.

4. Risultati Principali

Il risultato centrale è il Teorema 4.10, che afferma:
Esiste una successione infinita di coppie autovalore-autofunzione $\{(\lambda_i, u_i)\}_{i \in \mathbb{N}}$ per il problema (4.1) tali che:

1. Esistenza: Ogni $(\lambda_i, u_i)$ è una soluzione debole nel senso degli spazi di distribuzione.
2. Comportamento asintotico degli autovalori: $\lambda_i \to +\infty$ quando $i \to \infty$.
3. Comportamento asintotico delle autofunzioni: $u_i \to 0$ nella topologia debole $\sigma(W^{s}L_M(\Omega), W^{-s}E_{\bar{M}}(\Omega))$ quando $i \to \infty$.

Inoltre, viene dimostrato che i livelli critici $c_i$ (definiti tramite il genere) tendono a zero, il che garantisce l'esistenza di una sequenza infinita di soluzioni distinte.

5. Significato e Implicazioni

Questo lavoro è di fondamentale importanza per l'analisi non lineare e le equazioni alle derivate parziali non locali per diversi motivi:

• Modellizzazione Fisica: Molti problemi di diffusione in materiali eterogenei o con strutture complesse (es. fluidi non newtoniani, crescita di cristalli) sono descritti da leggi di crescita non standard che non soddisfano la condizione $\Delta_2$. Questo risultato fornisce gli strumenti matematici per analizzare gli stati stazionari e le frequenze naturali (autovalori) di tali sistemi.
• Avanzamento Teorico: Dimostra che la teoria degli autovalori non dipende strettamente dalla riflessività degli spazi, aprendo la strada a studi su classi più ampie di operatori non lineari in spazi di Banach non riflessivi.
• Robustezza del Metodo: La combinazione di approssimazione di Galerkin, teoria del genere di Krasnoselskii e pseudomonotonia si rivela una strategia potente per trattare problemi variazionali in contesti "patologici" (mancanza di regolarità dello spazio).

In sintesi, il paper estende significativamente la frontiera della teoria degli autovalori per operatori frazionari non lineari, rimuovendo un'ipotesi tecnica (la condizione $\Delta_2$) che ha limitato la ricerca precedente per decenni.