An eigenvalue problem for a nonlocal quasilinear anisotropic equation in fractional Orlicz Sobolev spaces without the $\Delta_2$--condition

1. Problématique et Contexte

L'article s'intéresse à l'analyse spectrale d'un problème aux valeurs propres associé à des opérateurs non locaux de type fractionnaire, généralisant les modèles de diffusion à croissance non standard. Le problème étudié est le suivant :

$$\begin{cases} L^s_a u = \lambda g(u) & \text{dans } \Omega, \\ u = 0 & \text{dans } \mathbb{R}^n \setminus \Omega, \end{cases}$$

où $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ est un domaine borné, $\lambda$ est le paramètre spectral, et $g$ est une fonction source non linéaire. L'opérateur $L^s_a$ est défini par :

$$L^s_a u(x) = 2 \, \text{p.v.} \int_{\mathbb{R}^n} a\left(x, y, \frac{u(x)-u(y)}{|x-y|^s}\right) \frac{dy}{|x-y|^{n+s}},$$

avec $s \in (0,1)$. La fonction $a(x, y, \xi)$ est impaire, symétrique, monotone et satisfait des conditions de croissance liées à une fonction de Young $M$.

Le défi principal : L'étude se déroule dans le cadre des espaces de Sobolev-Orlicz fractionnaires ($W^{s}L_M$), sans supposer que la fonction de Young $M$ satisfait la condition $\Delta_2$.

• L'absence de la condition $\Delta_2$ implique que les espaces fonctionnels associés ne sont ni réflexifs ni séparables.
• Les fonctionnelles énergétiques associées ne sont pas nécessairement différentiables au sens de Fréchet.
• Cela rend inapplicable la théorie classique de Ljusternik-Schnirelmann qui repose sur la réflexivité et la différentiabilité.

2. Méthodologie

Les auteurs adoptent une approche variationnelle combinée à des techniques d'approximation de Galerkin et à une théorie critique adaptée aux espaces non réflexifs.

A. Cadre Fonctionnel

• Espaces d'Orlicz et de Sobolev-Orlicz : Utilisation des espaces $L_M$ et $W^{s}L_M$ définis via une fonction de Young $M$ et sa fonction conjuguée $\bar{M}$.
• Systèmes complémentaires : Pour contourner le manque de réflexivité, les auteurs utilisent la notion de systèmes complémentaires introduite par [29]. Ils construisent des paires de systèmes $(W^{s}_0 L_M, W^{s}_0 E_M; W^{-s} L_{\bar{M}}, W^{-s} E_{\bar{M}})$, où $E_M$ est la fermeture des fonctions bornées dans $L_M$. Cela permet de définir des topologies faibles appropriées ($\sigma$-topologies) et d'utiliser des résultats de compacité.
• Opérateurs : Définition rigoureuse de l'opérateur $L^s_a$ via la divergence fractionnaire.

B. Propriétés de l'Opérateur

• Pseudo-monotonie : Un résultat clé (Théorème 3.4) établit que l'opérateur $L^s_a$ est pseudo-monotone. Cette propriété est cruciale pour passer à la limite dans les suites approchées, même en l'absence de réflexivité. La preuve repose sur des estimations de croissance et la compacité faible dans les systèmes complémentaires.
• Coercivité : Une condition de coercivité est imposée sur $a(x, y, \xi)\xi \geq \theta M(c\xi)$ pour garantir la bornitude des suites minimisantes.

C. Stratégie de Résolution (Théorie de Ljusternik-Schnirelmann)

1. Approximation de Galerkin : Le problème est d'abord résolu sur des sous-espaces de dimension finie $V_k$ engendrés par une base dénombrable de $W^{s}_0 E_M(\Omega)$.
2. Fonctionnelles : Définition de deux fonctionnelles :
   • $A_s(u) = \iint A(x, y, D^s u) \, d\nu_n$ (énergie associée à l'opérateur).
   • $G(u) = \int_\Omega G(u) \, dx$ (potentiel associé à la source).
3. Critères variationnels : Sur les sous-espaces $V_k$, on définit des niveaux critiques $c_{i,k}$ via le genre de Krasnoselskii sur la variété de niveau $N^s_k = \{u \in V_k : A_s(u) = 1\}$.
4. Passage à la limite : En faisant tendre $k \to \infty$, les auteurs utilisent la pseudo-monotonie de $L^s_a$ et la compacité des plongements pour extraire une sous-suite convergente vers une solution du problème continu.

3. Résultats Principaux

Le résultat central est énoncé dans le Théorème 4.10 :

1. Existence d'une suite infinie de valeurs propres : Il existe une suite de couples propres $\{( \lambda_i, u_i )\}_{i \in \mathbb{N}}$ solution du problème (4.1).
2. Comportement asymptotique :
   • Les valeurs propres tendent vers l'infini : $\lambda_i \to +\infty$ lorsque $i \to \infty$.
   • Les fonctions propres tendent vers zéro dans la topologie faible $\sigma(W^{s}_0 L_M(\Omega), W^{-s} E_{\bar{M}}(\Omega))$ : $u_i \to 0$.
3. Validité sans condition $\Delta_2$ : Ce résultat est obtenu sans aucune hypothèse de croissance sur la fonction de Young $M$ ou sa conjuguée $\bar{M}$, généralisant ainsi les travaux antérieurs sur le $p$-Laplacien fractionnaire et le $m$-Laplacien fractionnaire.

4. Contributions Clés

• Généralisation des opérateurs : Extension des résultats de [24] (qui traitaient du $m$-Laplacien fractionnaire) à une classe plus large d'opérateurs anisotropes non locaux $L^s_a$ dépendant de $x, y$ et $\xi$.
• Traitement de la non-réflexivité : Développement d'une méthode robuste pour appliquer la théorie de Ljusternik-Schnirelmann dans des espaces de Banach non réflexifs et non séparables, en exploitant la structure des systèmes complémentaires et la pseudo-monotonie.
• Suppression de la condition $\Delta_2$ : Démonstration que l'existence d'une infinité de valeurs propres ne dépend pas de la condition $\Delta_2$, ouvrant la voie à l'étude de modèles de diffusion avec des comportements de croissance extrêmement rapides ou lents (ex: croissance exponentielle).

5. Signification et Impact

Cet article est significatif pour plusieurs raisons :

• Théorique : Il comble un vide dans la littérature sur les équations aux dérivées partielles non locales à croissance non standard, prouvant que les méthodes variationnelles classiques peuvent être adaptées à des cadres fonctionnels très généraux.
• Applications : Les modèles de diffusion non standard (où le comportement change selon que le gradient est petit ou grand) sont omniprésents en physique des matériaux, en biologie et en finance. L'absence de la condition $\Delta_2$ permet de modéliser des phénomènes physiques où la réponse du matériau devient singulière ou très rapide à certaines échelles.
• Méthodologique : La preuve de la pseudo-monotonie de l'opérateur $L^s_a$ dans ce cadre général fournit un outil technique puissant pour l'analyse d'autres problèmes non linéaires non locaux dans les espaces d'Orlicz.

En résumé, l'article établit rigoureusement l'existence d'un spectre infini de valeurs propres pour une large classe d'opérateurs fractionnaires non locaux, en surmontant les difficultés analytiques majeures posées par l'absence de réflexivité des espaces fonctionnels sous-jacents.