An eigenvalue problem for a nonlocal quasilinear anisotropic equation in fractional Orlicz Sobolev spaces without the $\Delta_2$--condition

1. Planteamiento del Problema

El artículo aborda el estudio de un problema de valores propios no lineal y no local asociado a operadores de tipo fraccionario en el contexto de espacios de Orlicz-Sobolev fraccionarios. El objetivo principal es establecer la existencia de una secuencia infinita de pares de valores propios y autofunciones $(u_k, \lambda_k)$, donde los valores propios tienden a infinito.

El problema central se formula como:
$$\begin{cases} L_a^s u = \lambda g(u) & \text{en } \Omega, \\ u = 0 & \text{en } \mathbb{R}^n \setminus \Omega, \end{cases}$$
donde:

• $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ es un dominio abierto y acotado.
• $L_a^s$ es un operador no local cuasilineal anisotrópico definido por:
  $$L_a^s u(x) = 2 \, \text{p.v.} \int_{\mathbb{R}^n} a\left(x, y, \frac{u(x) - u(y)}{|x-y|^s}\right) \frac{dy}{|x-y|^{n+s}}.$$
• La función $a(x, y, \xi)$ es impar, simétrica, monótona y satisface condiciones de crecimiento controladas por una función de Young $M$.
• $g(u)$ es un término fuente no lineal con crecimiento adecuado.
• La restricción crítica: El estudio se realiza sin asumir la condición $\Delta_2$ para la función de Young $M$ ni para su conjugada $\bar{M}$.

2. Contexto y Motivación

• Generalización: El operador $L_a^s$ generaliza tanto al Laplaciano fraccionario $(-\Delta)^s$ como al $p$-Laplaciano fraccionario $(-\Delta_p)^s$ y al operador $m$-Laplaciano fraccionario.
• El desafío de la condición $\Delta_2$: En la teoría clásica de espacios de Orlicz, la condición $\Delta_2$ (es decir, $M(2t) \leq C M(t)$) es crucial porque garantiza que el espacio de Orlicz $L_M$ sea separable, reflexivo y que el funcional asociado sea diferenciable.
• Ausencia de $\Delta_2$: Cuando $M$ no satisface esta condición, los espacios de Orlicz pierden la reflexividad y la separabilidad, y los funcionales dejan de ser diferenciables en todo el espacio. Esto impide la aplicación directa de métodos variacionales estándar (como el principio minimax de Ljusternik-Schnirelmann) y requiere técnicas más sofisticadas.

3. Metodología

Los autores emplean una combinación de análisis funcional avanzado y teoría variacional adaptada a espacios no reflexivos:

A. Marco Funcional: Espacios de Sobolev-Orlicz Fraccionarios

Se trabaja en los espacios $W_0^{s}L_M(\Omega)$ y sus subespacios $W_0^{s}E_M(\Omega)$.

• Se define una estructura de sistemas complementarios (complementary systems) siguiendo el trabajo de [29]. Esto permite trabajar con pares de espacios duales $(Y, Y_0; Z, Z_0)$ donde $Y_0$ es denso en $Y$ bajo una topología débil específica, superando la falta de reflexividad.
• Se utiliza la topología $\sigma(L_M \times L_M(\nu_n), E_{\bar{M}} \times E_{\bar{M}}(\nu_n))$ para definir convergencias débiles adecuadas.

B. Propiedades del Operador $L_a^s$

• Pseudomonotonía: El resultado técnico central de la Sección 3 es la demostración de que el operador $L_a^s$ es pseudomonótono (Teorema 3.4). Esta propiedad es esencial para garantizar la convergencia de soluciones aproximadas en ausencia de reflexividad.
• Se prueba que el dominio del operador incluye a $W_0^{s}E_M(\Omega)$ y que el operador es continuo bajo la topología débil adecuada.

C. Método Variacional y Aproximación de Galerkin

Dado que el funcional de energía no es diferenciable en todo el espacio, los autores utilizan un esquema de aproximación:

1. Discretización: Se construyen subespacios de dimensión finita $V_k$ generados por una base numerable en $W_0^{s}E_M(\Omega)$.
2. Problema en Dimensión Finita: En cada $V_k$, se aplica la teoría de Ljusternik-Schnirelmann clásica (en variedades de dimensión finita) para encontrar una secuencia de pares críticos $(u_k^i, \lambda_k^i)$ que minimizan el funcional de energía restringido a niveles de género de Krasnoselskii.
3. Límite: Se demuestra que, al hacer $k \to \infty$, estas soluciones aproximadas convergen a una solución del problema original en el espacio infinito-dimensional, aprovechando la pseudomonotonía del operador.

4. Resultados Principales

El teorema principal (Teorema 4.10) establece lo siguiente:

1. Existencia de una secuencia infinita: Existe una secuencia de pares de valores propios y autofunciones $\{(u_i, \lambda_i)\}_{i \in \mathbb{N}}$ que resuelven el problema (4.1).
2. Comportamiento asintótico de los valores propios:
   $$\lambda_i \to +\infty \quad \text{cuando } i \to \infty.$$
3. Comportamiento asintótico de las autofunciones:
   $$u_i \to 0 \quad \text{en la topología } \sigma(W_0^{s}L_M(\Omega), W^{-s}E_{\bar{M}}(\Omega)).$$
   Es decir, las autofunciones tienden a cero débilmente, lo cual es consistente con la naturaleza de los valores propios grandes en problemas elípticos.

Además, se demuestra que los valores propios se pueden caracterizar mediante un principio minimax utilizando el género de Krasnoselskii sobre el conjunto de nivel $N^s = \{u : A_s(u) = 1\}$.

5. Contribuciones Clave

1. Generalización sin condición $\Delta_2$: Es el primer trabajo que extiende la teoría de valores propios para operadores fraccionarios no locales de crecimiento no estándar (tipo $m$-Laplaciano) sin requerir la condición $\Delta_2$. Esto amplía significativamente el alcance de los modelos físicos que pueden ser analizados (por ejemplo, aquellos con crecimiento exponencial o muy rápido).
2. Pseudomonotonía en espacios fraccionarios: Se establece rigurosamente la pseudomonotonía del operador $L_a^s$ en el contexto de espacios de Orlicz-Sobolev fraccionarios, llenando un vacío técnico en la literatura sobre operadores no locales no reflexivos.
3. Aplicación de Sistemas Complementarios: Se demuestra la eficacia de utilizar sistemas complementarios y la topología débil asociada para recuperar la compacidad necesaria para el paso al límite en problemas variacionales donde falla la reflexividad estándar.

6. Significado e Impacto

Este trabajo es fundamental para el análisis de ecuaciones diferenciales parciales (EDP) que modelan fenómenos de difusión no local con comportamientos de crecimiento no estándar (no $p$-lineales).

• Aplicaciones Físicas: Permite modelar sistemas donde la difusión cambia drásticamente dependiendo de la magnitud del gradiente (o de la diferencia de valores en el caso no local), como en ciertos materiales compuestos, procesos biológicos o mecánica de fluidos complejos, donde los modelos clásicos de crecimiento polinomial ($p$-Laplaciano) son insuficientes.
• Avance Teórico: Proporciona un marco robusto para estudiar problemas variacionales en espacios de Banach que no son reflexivos, abriendo la puerta a futuras investigaciones sobre regularidad, unicidad y comportamiento cualitativo de soluciones en estos espacios más generales.

En resumen, el artículo logra superar las limitaciones técnicas impuestas por la falta de la condición $\Delta_2$ mediante el uso inteligente de la teoría de sistemas complementarios y la pseudomonotonía, logrando un resultado de existencia completo para una clase muy amplia de operadores no locales.