An eigenvalue problem for a nonlocal quasilinear anisotropic equation in fractional Orlicz Sobolev spaces without the $\Delta_2$--condition

Resumo Técnico

1. O Problema Investigado

O artigo aborda um problema de autovalor não linear associado a operadores não locais de ordem fracionária, definidos em espaços de Sobolev Orlicz fracionários ($W^{s}L_M$). O operador principal estudado é uma generalização anisotrópica e não linear do Laplaciano fracionário, dado por:

$$L^s_a u(x) = 2 \, \text{p.v.} \int_{\mathbb{R}^n} a\left(x, y, \frac{u(x) - u(y)}{|x-y|^s}\right) \frac{dy}{|x-y|^{n+s}}$$

O problema de autovalor é formulado como:
$$\begin{cases} L^s_a u = \lambda g(u) & \text{em } \Omega, \\ u = 0 & \text{em } \mathbb{R}^n \setminus \Omega, \end{cases}$$
onde $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ é um domínio limitado, $s \in (0,1)$, e $g$ é uma função fonte com crescimento adequado.

O Desafio Central: A análise é realizada sem assumir a condição $\Delta_2$ para a função de Young $M$ envolvida.

• A condição $\Delta_2$ (ou seja, $M(2t) \leq C M(t)$) é crucial na teoria clássica de espaços de Orlicz, pois garante que o espaço seja reflexivo e separável, e que os funcionais associados sejam diferenciáveis.
• Sem essa condição, os espaços de Sobolev Orlicz ($W^{s}L_M$) perdem a reflexividade e a separabilidade, e os funcionais energéticos associados deixam de ser diferenciáveis no sentido de Fréchet, tornando a aplicação direta de métodos variacionais padrão (como o Princípio Minimax de Courant ou a teoria clássica de Ljusternik-Schnirelmann) inviável.

2. Metodologia e Ferramentas Matemáticas

Os autores desenvolvem uma abordagem sofisticada para contornar a falta de regularidade e reflexividade dos espaços:

• Espaços de Sobolev Orlicz Fracionários: Definem os espaços $W^{s}L_M$ e seus subespaços $W^{s}E_M$ (fechamento de funções limitadas), utilizando a medida $d\nu_n = \frac{dx dy}{|x-y|^n}$ no produto $\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n$.
• Sistemas Complementares: Utilizam a teoria de sistemas complementares (introduzida por Gossez e desenvolvida em trabalhos anteriores como [29]) para lidar com a não reflexividade. Eles constroem pares de espaços $(W^{s}L_M, W^{s}E_M; W^{-s}L_{\bar{M}}, W^{-s}E_{\bar{M}})$ que permitem definir dualidade e convergência fraca adequada, mesmo na ausência da condição $\Delta_2$.
• Operadores Pseudo-monótonos: Demonstram que o operador não local $L^s_a$ é pseudo-monótono (Teorema 3.4). Esta é uma propriedade fundamental que permite passar ao limite em sequências de soluções aproximadas, substituindo a necessidade de diferenciabilidade estrita.
• Aproximação de Galerkin e Teoria de Ljusternik-Schnirelmann:
  1. O problema é reduzido a subespaços de dimensão finita $V_k$ gerados por uma base densa.
  2. Nos subespaços finitos, a teoria clássica de Ljusternik-Schnirelmann é aplicada para encontrar uma sequência de autovalores $\lambda_{k}^i$ e autovetores $u_{k}^i$.
  3. Utilizam um argumento de limite (passando $k \to \infty$) para recuperar soluções no espaço infinito-dimensional, aproveitando a pseudo-monotonicidade do operador e a compacidade de imersão dos espaços Orlicz.

3. Contribuições Principais

1. Generalização de Resultados Existentes: O trabalho estende os resultados de [24] (que tratavam do caso isotrópico com o operador $m$-Laplaciano fracionário) para uma classe mais ampla de operadores anisotrópicos e quasilineares, onde o núcleo $a(x, y, \xi)$ depende de $x$ e $y$ de forma não trivial.
2. Remoção da Condição $\Delta_2$: A maior contribuição teórica é a prova de existência de autovalores sem assumir a condição $\Delta_2$ nem para a função de Young $M$ nem para sua conjugada $\bar{M}$. Isso amplia significativamente o escopo de aplicação para problemas de crescimento não padrão (onde o comportamento de difusão muda drasticamente para gradientes pequenos e grandes).
3. Estabelecimento de Pseudo-monotonicidade: A prova detalhada da pseudo-monotonicidade do operador $L^s_a$ em espaços não reflexivos fornece uma ferramenta técnica robusta para futuras análises de equações não locais em contextos de crescimento não padrão.

4. Resultados Principais

O resultado central é o Teorema 4.10, que estabelece:

• Existência de uma Sequência Infinita: Existe uma sequência de pares de autovalores e autovetores $\{(\lambda_i, u_i)\}_{i \in \mathbb{N}}$ que resolvem o problema (4.1).
• Comportamento Assintótico dos Autovalores: A sequência de autovalores tende ao infinito:
  $$\lambda_i \to +\infty \quad \text{quando } i \to \infty.$$
• Comportamento Assintótico dos Autoestados: A sequência de autovetores converge para zero na topologia fraca $\sigma(W^{s}L_M, W^{-s}E_{\bar{M}})$:
  $$u_i \to 0 \quad \text{em } \sigma(W^{s}L_M, W^{-s}E_{\bar{M}}).$$

Além disso, os autores provam que os autovalores podem ser caracterizados via um princípio variacional minimax (usando o gênero de Krasnoselskii), definidos como:
$$c_i = \sup_{K \in \mathcal{K}_i} \inf_{u \in K} G(u)$$
onde $G$ é o funcional associado ao termo fonte e $\mathcal{K}_i$ são conjuntos compactos simétricos com gênero pelo menos $i$.

5. Significado e Impacto

• Aplicações em Física e Ciências Naturais: Problemas de difusão com crescimento não padrão (onde a lei de difusão não segue uma potência fixa $p$) são comuns em modelagem de fluidos não newtonianos, plásticos e processos de transporte em meios heterogêneos. A remoção da condição $\Delta_2$ permite modelar fenômenos onde a energia pode crescer superlinearmente ou sublinearmente de formas que não são controláveis por uma única potência.
• Avanço na Análise Não Linear: O trabalho demonstra que a teoria de autovalores para operadores elípticos não locais pode ser desenvolvida em ambientes funcionais muito mais fracos (não reflexivos), superando barreiras técnicas que limitavam a análise a espaços de Orlicz "bem-comportados".
• Fundamento para Estudos Futuros: A estrutura de sistemas complementares e a prova de pseudo-monotonicidade estabelecidas neste artigo servem como base para estudar problemas de existência de soluções para equações de evolução, problemas de contorno com dados não lineares e otimização em espaços de Orlicz fracionários.

Em resumo, o artigo é um marco técnico que expande a fronteira da análise variacional para equações diferenciais parciais não locais em espaços funcionais de crescimento não padrão, provando a existência de um espectro infinito de autovalores mesmo na ausência das propriedades geométricas clássicas (reflexividade e diferenciabilidade) dos espaços de Banach.