Co-Design of Cryptographic Parameters and Delay-Aware Feedback Gain for Encrypted Control Systems

1. Problema e Contesto

I sistemi di controllo in rete (NCS) permettono di delegare compiti computazionalmente intensivi a server remoti, ma introducono rischi significativi per la privacy e la sicurezza, specialmente quando i canali di comunicazione sono vulnerabili all'intercettazione o i server sono "semi-onesti" (eseguono il protocollo ma tentano di inferire dati privati).
La Controllo Criptato (Encrypted Control) emerge come soluzione promettente, utilizzando la Crittografia Omomorfica (HE) per eseguire calcoli direttamente sui dati cifrati senza decifrarli. Tuttavia, l'implementazione pratica dell'HE introduce ritardi non trascurabili dovuti a:

1. Trasmissione di cifrati (che sono molto più grandi dei testi in chiaro).
2. Costi computazionali per la cifratura, la decifratura e le moltiplicazioni omomorfiche.

Il problema centrale identificato dagli autori è che la maggior parte delle ricerche esistenti progetta prima il controllore nel dominio in chiaro e poi lo implementa su dati cifrati, ignorando i ritardi indotti dalla crittografia. Questi ritardi, che aumentano con il livello di sicurezza, possono degradare le prestazioni del sistema o addirittura renderlo instabile. L'obiettivo è quindi trovare un metodo per progettare congiuntamente i parametri crittografici e il guadagno del feedback, tenendo conto dei ritardi.

2. Metodologia

L'articolo propone un framework di co-design che integra la scelta dei parametri crittografici con la sintesi di un guadagno di feedback "consapevole del ritardo" (delay-aware).

A. Modellazione del Sistema e dei Ritardi

• Sistema: Viene considerato un sistema lineare continuo controllato da un feedback di stato statico discreto.
• Crittografia: Si utilizza uno schema basato su LWE (Learning With Errors), che supporta la moltiplicazione matrice-vettore su dati cifrati.
• Parametri Crittografici ($\theta$): Definiti come $\theta = (N, q, \sigma)$, dove $N$ è la dimensione del segreto, $q$ il modulo e $\sigma$ la deviazione standard dell'errore. Questi determinano il livello di sicurezza $\lambda(\theta)$.
• Quantificazione del Ritardo: Il ritardo totale $\tau_\theta$ è modellato come la somma di:
  • Ritardo di comunicazione (funzione della dimensione del cifrato e della velocità di trasmissione).
  • Ritardo computazionale (cifratura, decifratura, moltiplicazione omomorfica).
    Gli autori derivano un limite superiore $\bar{\tau}_\theta$ come funzione esplicita dei parametri crittografici $\theta$.

B. Condizione di Stabilità

Per un dato insieme di parametri crittografici $\theta$, il ritardo $\tau_\theta$ è trattato come una costante incognita ma limitata nell'intervallo $[0, \bar{\tau}_\theta]$.

• Il sistema a ciclo chiuso con ritardo viene discretizzato, portando a una rappresentazione nello stato aumentato.
• La stabilità è garantita se tutte le matrici del sistema, al variare del ritardo nell'intervallo ammissibile, sono Schur-stabili.
• Utilizzando la forma di Jordan e la convessità, gli autori trasformano il problema di stabilità (che richiederebbe di controllare infiniti ritardi) in un insieme finito di Disuguaglianze Matriciali Lineari (LMI).

C. Procedura di Co-Design (Algoritmo)

L'approccio segue una procedura esterna-interna:

1. Loop Esterno: Si seleziona un insieme discreto di parametri crittografici $\theta$ che soddisfano il requisito di sicurezza $\lambda^*$. Per ogni $\theta$, si calcola il limite superiore del ritardo $\bar{\tau}_\theta$. Se $\bar{\tau}_\theta \ge T_s$ (tempo di campionamento), il parametro viene scartato.
2. Loop Interno: Per ogni $\theta$ valido, si verifica la fattibilità delle LMI per un insieme finito di guadagni di feedback candidati $K$ (ad esempio, guadagni progettati per il caso senza ritardo).
3. Risultato: Se esiste un $K$ che rende le LMI fattibili, la coppia $(\theta, K)$ è una soluzione valida che garantisce sicurezza, ritardo accettabile e stabilità.

3. Contributi Chiave

1. Modellazione del Ritardo: Caratterizzazione analitica del ritardo indotto dalla crittografia come funzione diretta dei parametri crittografici ($N, q, \sigma$), evidenziando il trade-off tra sicurezza e prestazioni temporali.
2. Condizione Sufficiente di Stabilità: Derivazione di una condizione basata su un insieme finito di LMI che garantisce la stabilità del sistema a ciclo chiuso nonostante l'incertezza sul ritardo esatto, purché rimanga entro i limiti calcolati.
3. Framework di Co-Design: Proposta di un algoritmo sistematico che evita la progettazione sequenziale (prima sicurezza, poi controllo) a favore di una ricerca congiunta, assicurando che il controllore sia robusto ai ritardi specifici introdotti dal livello di sicurezza scelto.

4. Risultati della Simulazione

Gli autori hanno validato il metodo su un esempio numerico con un sistema lineare del secondo ordine:

• Configurazione: Utilizzo della libreria Lattigo (schema BGV) con un livello di sicurezza target di 128 bit.
• Parametri: Sono stati testati tre set di parametri crittografici ($\theta_1, \theta_2, \theta_3$) con diverse dimensioni di chiave e modulo.
• Risultati:
  • Solo il set $\theta_1$ ha soddisfatto il vincolo di ritardo ($\bar{\tau}_\theta < T_s$).
  • Due guadagni di feedback sono stati testati: $K_1$ (progettato per il caso senza ritardo) e $K_2$ (progettato per essere "delay-aware" tramite le LMI).
  • Confronto: Il controllore $K_1$ ha portato all'instabilità del sistema quando il ritardo ha superato una certa soglia, mentre $K_2$ ha mantenuto la stabilità per tutti i ritardi considerati.
  • Questo dimostra che un controllore progettato senza considerare i ritardi crittografici fallisce, mentre il co-design garantisce la stabilità.

5. Significato e Impatto

Questo lavoro è significativo perché colma un divario critico tra la teoria della crittografia e la teoria del controllo. Dimostra che:

• Non è sufficiente scegliere parametri crittografici basati solo sul livello di sicurezza desiderato; questi parametri hanno un impatto diretto e misurabile sulla dinamica del sistema di controllo.
• L'approccio "progetta il controllore, poi applica la crittografia" è intrinsecamente rischioso per i sistemi in tempo reale.
• Il framework proposto offre una procedura pratica e computazionalmente trattabile (tramite LMI) per progettare sistemi di controllo sicuri che siano anche stabili e performanti, rendendo l'uso della crittografia omomorfica in ambito industriale e critico più fattibile e sicuro.