Co-Design of Cryptographic Parameters and Delay-Aware Feedback Gain for Encrypted Control Systems

1. 연구 배경 및 문제 제기 (Problem)

• 배경: 네트워크 제어 시스템 (NCS) 은 제한된 자원을 가진 장치가 원격 서버로 계산 작업을 위임할 수 있게 하지만, 이 과정에서 민감한 데이터가 유출되거나 서버가 반정직 (semi-honest) 하게 동작할 수 있어 보안과 프라이버시 문제가 발생합니다. 이를 해결하기 위해 동형 암호화 (Homomorphic Encryption, HE) 를 이용한 암호화 제어 (Encrypted Control) 가 주목받고 있습니다. HE 는 복호화 없이 암호화된 데이터에 대해 연산을 수행할 수 있어 통신 및 계산 단계 모두를 보호합니다.
• 기존 접근법의 한계: 대부분의 기존 연구는 평문 (plaintext) 영역에서 제어기를 먼저 설계한 후, 이를 암호화된 데이터에 적용하는 방식 (Pre-design) 을 취했습니다.
• 핵심 문제: HE 는 암호문 크기 증가로 인한 통신 지연과 암호화/복호화/동형 연산으로 인한 계산 지연을 필연적으로 발생시킵니다. 이러한 지연은 보안 수준이 높아질수록 증가하며, 기존에 설계된 제어기에 적용될 경우 제어 성능 저하를 넘어 폐루프 시스템의 불안정성을 초래할 수 있습니다. 기존 연구들은 이러한 암호화 유발 지연을 고려하지 않은 채 보안과 제어 성능을 설계했습니다.

2. 제안된 방법론 (Methodology)

이 논문은 암호화 파라미터와 제어기 이득을 공동 설계 (Co-design) 하는 프레임워크를 제안합니다.

2.1. 암호화 지연의 정량화 (Quantification of Delay)

• LWE 기반 암호체계 사용: 학습 오류 (Learning With Errors, LWE) 기반의 암호체계를 기반으로 하며, 암호화 파라미터 집합을 $\theta = (N, q, \sigma)$로 정의합니다 ($N$: 키 길이, $q$: 모듈로, $\sigma$: 오차 분포).
• 지연 모델링: 총 지연 시간 $\tau_\theta$를 통신 지연, 암호화/복호화 지연, 동형 곱셈 지연의 합으로 분해하여 모델링합니다.
  • 통신 지연은 전송률 ($R$) 과 전파 지연 ($\delta$) 을 고려하여 상한을 추정합니다.
  • 계산 지연은 암호화 연산의 점근적 복잡도 ($O(N^2d)$ 등) 를 기반으로 상한을 유도합니다.
• 결과: 암호화 파라미터 $\theta$의 함수로 총 지연 시간의 상한 $\bar{\tau}_\theta$를 명시적으로 도출합니다.

2.2. 지연 인식 피드백 이득 설계 (Delay-Aware Gain Design)

• 시스템 모델링: 지연이 포함된 입력 (Zero-Order Hold, ZOH) 하에서 폐루프 시스템을 이산 시간 샘플링 데이터 시스템으로 변환합니다. 지연 시간 $\tau_\theta$가 일정하다고 가정할 때, 시스템 행렬은 지연 시간에 따라 변하는 집합 $\Psi(\theta, K)$로 표현됩니다.
• 안정성 조건 도출: 모든 가능한 지연 시간 구간 $[0, \bar{\tau}_\theta]$에서 시스템이 안정화되기 위한 충분 조건을 유도합니다.
  • 자코비 형식 (Jordan form) 을 이용하여 시스템 행렬을 선형 결합 형태로 분해합니다.
  • 유한한 선형 행렬 부등식 (Finite set of LMIs) 을 통해 모든 가능한 지연에 대한 안정성을 보장하는 조건을 제시합니다 (Proposition 1). 이는 볼록 다면체 (convex polytope) 의 꼭짓점에서의 안정성만 확인하면 전체 영역의 안정성이 보장된다는 원리에 기반합니다.

2.3. 공동 설계 알고리즘 (Co-Design Algorithm)

• Outer-Inner 구조:
  1. Outer Loop: 요구되는 보안 수준 ($\lambda^*$) 을 만족하는 암호화 파라미터 후보 집합 $\Theta$를 생성합니다.
  2. Inner Loop: 각 후보 $\theta$에 대해 계산된 지연 상한 $\bar{\tau}_\theta$가 샘플링 시간 $T_s$보다 작은지 확인합니다. 조건을 만족하는 경우, 유한한 피드백 이득 후보 집합 $\mathcal{K}$에 대해 유도된 LMI 조건을 검증하여 안정화 이득을 찾습니다.

3. 주요 기여 (Key Contributions)

1. 지연 - 보안 트레이드오프의 명시적 모델링: 암호화 파라미터 (보안 수준) 와 시스템 지연 사이의 함수 관계를 수학적으로 정립하여, 보안 강화가 어떻게 제어 시스템의 지연을 유발하는지 정량화했습니다.
2. 지연 인식 안정화 조건: 고정된 암호화 파라미터 하에서, 지연 시간의 불확실성을 고려하여 폐루프 시스템을 안정화시키는 피드백 이득의 존재 조건을 유한 개의 LMI로 제시했습니다.
3. 실용적인 공동 설계 프레임워크: 보안 요구사항과 지연 제약을 동시에 만족하는 암호화 파라미터와 제어 이득을 탐색하는 체계적인 알고리즘을 제안했습니다. 이는 기존에 분리되어 있던 보안 설계와 제어 설계를 통합했습니다.

4. 시뮬레이션 결과 (Simulation Results)

• 실험 설정: 2 차계 선형 시스템을 대상으로 하며, Lattigo 라이브러리 (BGV 방식) 를 사용하여 구현했습니다. 목표 보안 수준은 128 비트로 설정했습니다.
• 파라미터 검증: 3 가지 다른 암호화 파라미터 집합 ($\theta_1, \theta_2, \theta_3$) 을 평가했습니다.
  • $\theta_2, \theta_3$는 보안 수준은 만족하지만, 계산 및 통신 지연으로 인해 총 지연이 샘플링 시간 ($T_s = 25$ms) 을 초과하여 조건 (R2) 을 만족하지 못했습니다.
  • $\theta_1$만이 지연 조건을 만족했습니다.
• 제어기 성능 비교:
  • 지연을 고려하지 않고 설계된 기존 이득 ($K_1$) 은 지연이 증가함에 따라 성능이 급격히 저하되었으며, 지연이 $3\bar{\tau}_\theta/4$에 도달하면 시스템이 불안정해졌습니다.
  • 제안된 공동 설계 프레임워크로 찾은 지연 인식 이득 ($K_2$) 은 모든 고려된 지연 구간에서 시스템을 안정화시켰습니다.
• 결론: 제안된 방법이 지연으로 인한 불안정성을 방지하고 시스템 안정성을 보장하는 데 필수적임을 입증했습니다.

5. 의의 및 결론 (Significance)

이 논문은 암호화 제어 시스템의 실용화를 위한 중요한 걸음을 내딛었습니다. 단순히 "암호화를 적용한다"는 것을 넘어, 암호화로 인한 성능 저하 (지연) 를 시스템 설계 단계에서부터 고려해야 함을 강조합니다.

• 이론적 의의: 암호화 파라미터와 제어 이득 간의 상호 의존성을 수학적으로 규명하고, 이를 LMI 기반의 검증 가능한 조건으로 변환했습니다.
• 실무적 의의: 보안 수준을 높이되 시스템이 불안정해지지 않는 최적의 암호화 설정과 제어기를 찾는 체계적인 방법을 제공하여, 산업용 네트워크 제어 시스템의 안전한 배포에 기여할 수 있습니다.

요약하자면, 이 연구는 보안 (Security) 과 안정성 (Stability) 이 상충될 수 있는 환경에서, 두 요소를 동시에 만족시키는 통합 설계 방법론을 제시했다는 점에서 의의가 큽니다.