Co-Design of Cryptographic Parameters and Delay-Aware Feedback Gain for Encrypted Control Systems

Titel: Co-ontwerp van cryptografische parameters en vertrouwingsbewuste feedbackversterking voor versleutelde controlesystemen

Auteur: Yeongjun Jang (Seoul National University)

---

1. Probleemstelling

Versleutelde besturing (Encrypted Control) is een veelbelovende aanpak voor beveiligde netwerkbesturingssystemen (NCS). Het maakt gebruik van homomorfische versleuteling (HE) om zowel de communicatie als de berekening te beschermen, zodat gevoelige gegevens (zoals sensormetingen) in versleutelde vorm naar een onbetrouwbare server kunnen worden verzonden voor verwerking.

Het huidige nadeel van bestaande methoden is dat ze vaak een controller eerst in het "platte tekst-domein" (plaintext) ontwerpen en deze vervolgens implementeren op versleutelde data. Dit benadertingsprobleem wordt veroorzaakt door:

• Niet-verwaarloosbare vertragingen: HE introduceert aanzienlijke vertragingen door de grotere omvang van ciphertexts (communicatievertraging) en de rekenintensieve aard van encryptie, decryptie en homomorfische vermenigvuldiging.
• Afhankelijkheid van beveiligingsniveau: Deze vertragingen nemen toe naarmate het beveiligingsniveau (grootte van de sleutels) toeneemt.
• Stabiliteitsrisico: De vertragingen kunnen de prestaties van het regelsysteem sterk verslechteren en zelfs leiden tot instabiliteit van het gesloten-luipsysteem, vooral als de controller niet is ontworpen om rekening te houden met deze vertragingen.

Er is dus een behoefte aan een methode die de cryptografische parameters (beveiliging) en de regelversterking (stabiliteit) gelijktijdig (co-design) optimaliseert.

2. Methodologie

De auteur stelt een co-ontwerpframework voor dat de cryptografische parameters ($\theta$) en de feedbackversterking ($K$) koppelt aan de door versleuteling veroorzaakte vertraging.

A. Kwantificering van de vertraging

De totale vertraging $\tau_\theta$ wordt gemodelleerd als een functie van de cryptografische parameters:
$$\tau_\theta = \tau^{Comm}_\theta + \tau^{Enc}_\theta + \tau^{Dec}_\theta + \tau^{\otimes}_\theta$$
Waarbij de termen respectievelijk communicatie, encryptie, decryptie en homomorfische vermenigvuldiging vertegenwoordigen.

• Cryptografisch model: Het artikel baseert zich op een LWE-gebaseerd cryptosysteem (Learning With Errors). De parameters zijn de sleutellengte $N$, het modulus $q$, en de ruisstandaardafwijking $\sigma$.
• Vertragingsschatting: De communicatievertraging wordt berekend op basis van de bitlengte van de ciphertexts en de transmissiesnelheid. De rekenvertraging wordt geschat op basis van de asymptotische complexiteit van de HE-bewerkingen (O(N^2d) voor encryptie, etc.).
• Bovenlimiet: Er wordt een bovengrens $\bar{\tau}_\theta$ afgeleid die afhangt van $N$, $q$, en $\sigma$.

B. Vertrouwingsbewuste stabiliteitsanalyse

Voor een vaste set cryptografische parameters $\theta$ en een gegeven feedbackversterking $K$, wordt de stabiliteit van het systeem onderzocht.

• Het systeem wordt gemodelleerd als een bemonsterd datasysteem met een variabele vertraging $\tau_\theta \in [0, \bar{\tau}_\theta]$.
• De gesloten-luipsysteem dynamiek wordt uitgedrukt in een versterkte toestandsruimte.
• Stabiliteitsvoorwaarde: Om stabiliteit te garanderen voor alle mogelijke vertragingen binnen de bovengrens, wordt een voldoende voorwaarde afgeleid die bestaat uit een eindige verzameling Lineaire Matrix Ongelijkheden (LMIs).
• De methode maakt gebruik van de convexe hull-eigenschap van de matrix die de vertraging beschrijft. Als er een positief definiete matrix $P$ bestaat die voldoet aan de LMIs voor de hoekpunten van de vertragingsspanning, dan is het hele systeem stabiel.

C. Het Co-ontwerp Algoritme

Het voorgestelde algoritme volgt een buiten-binnen (outer-inner) procedure:

1. Buitenste lus: Zoek naar cryptografische parameter sets $\theta$ die voldoen aan de gewenste beveiligingsgraad ($\lambda^*$) en waarbij de geschatte maximale vertraging $\bar{\tau}_\theta$ kleiner is dan de bemonsteringstijd $T_s$.
2. Binnenste lus: Voor elke geldige $\theta$, zoek naar een feedbackversterking $K$ (uit een eindige kandidaatset, bijvoorbeeld ontworpen voor het vertragingvrije geval) die voldoet aan de LMI-stabiliteitsvoorwaarde.
3. Resultaat: Een paar $(\theta, K)$ dat zowel beveiliging als stabiliteit garandeert.

3. Belangrijkste Bijdragen

1. Koppeling van Beveiliging en Stabiliteit: Het is een van de eerste werken dat de vertragingen die inherent zijn aan homomorfische versleuteling expliciet koppelt aan de stabiliteitsanalyse van het regelsysteem.
2. Tractabele Voorwaarde: De afleiding van een voldoende voorwaarde voor stabiliteit in de vorm van een eindige set LMIs, wat het mogelijk maakt om de stabiliteit te verifiëren zonder oneindig veel matrices te hoeven controleren.
3. Co-ontwerp Framework: Een systematische aanpak om beveiligingsparameters en regelversterkingen gelijktijdig te selecteren, in plaats van ze als losse stappen te behandelen.
4. Praktische Implementatie: Het gebruik van standaard cryptografische bibliotheken (Lattigo/BGV) en het tonen van de haalbaarheid via simulaties.

4. Resultaten (Simulatie)

De methode werd getest op een lineair continu systeem met een bemonsteringstijd van 25 ms.

• Scenario: Drie kandidaat-cryptografische parameter sets ($\theta_1, \theta_2, \theta_3$) werden geëvalueerd voor een beveiligingsniveau van 128 bits.
• Vertraging: Alleen $\theta_1$ resulteerde in een totale vertraging die binnen de limiet van 25 ms bleef ($\bar{\tau}_{\theta_1} \approx 19.15$ ms). De andere sets veroorzaakten vertragingen die groter waren dan de bemonsteringstijd.
• Controller Ontwerp: Twee controllers werden getest:
  • $K_1$: Ontworpen voor het vertragingvrije geval (niet vertrouwingsbewust).
  • $K_2$: Ontworpen met het co-ontwerp framework (vertrouwingsbewust).
• Uitkomst:
  • $K_1$ faalde bij toenemende vertraging en maakte het systeem instabiel bij een vertraging van $3/4$ van de maximale geschatte vertraging.
  • $K_2$ stabiliseerde het systeem succesvol voor alle geteste vertragingen binnen de limiet.
  • De LMIs waren alleen haalbaar voor $K_2$, wat aantoont dat een vertragingvrij ontworpen controller niet automatisch stabiel blijft in een versleuteld omgeving.

5. Betekenis en Conclusie

Dit artikel benadrukt dat het traditionele "ontwerp in plaintext, implementatie in ciphertext"-paradigma ontoereikend is voor versleutelde controlesystemen vanwege de inherente vertragingen van homomorfische versleuteling.

De belangrijkste implicatie is dat beveiliging en stabiliteit niet los van elkaar kunnen worden gezien. Een hoger beveiligingsniveau kan leiden tot vertragingen die een stabiel systeem instabiel maken. Het voorgestelde co-ontwerpframework biedt een wiskundig onderbouwde methode om de juiste balans te vinden tussen beveiligingsniveau en regelprestaties, waardoor versleutelde besturingssystemen veiliger en robuuster kunnen worden ingezet in de praktijk.