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Co-Design of Cryptographic Parameters and Delay-Aware Feedback Gain for Encrypted Control Systems

针对同态加密引入的通信与计算延迟可能破坏闭环系统稳定性的问题，该论文提出了一种加密参数与延迟感知反馈增益的协同设计框架，通过建立延迟与加密参数的函数关系并推导基于线性矩阵不等式的稳定条件，实现了在满足特定安全等级下寻找稳定控制增益的可行设计流程。

原作者： Yeongjun Jang

发布于 2026-04-17

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CC BY 4.0

原作者： Yeongjun Jang

原始论文采用 CC BY 4.0 许可（http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/）。 ✨ 这是对下方论文的AI生成解释。它不是由作者撰写或认可的。如需技术准确性，请参阅原始论文。阅读完整免责声明

这篇论文主要解决了一个非常有趣且现实的问题：如何在保护数据隐私的同时，让远程控制的系统（比如无人机、自动驾驶汽车或工厂机器人）既安全又稳定地工作？

为了让你更容易理解，我们可以把整个系统想象成**“在一个充满窃听者的房间里，通过加密信件指挥一个机器人”**。

1. 背景：为什么要“加密控制”？

想象一下，你有一个很聪明的机器人（Plant），但它离你很远，你需要通过互联网给它发指令（比如“向左转”、“加速”）。

隐私风险：黑客可能会偷看你的指令，或者偷看机器人的状态（比如它现在在哪、速度多少）。
解决方案：使用同态加密（Homomorphic Encryption）。这就像把指令和状态都锁进一个特殊的“魔法保险箱”里。
- 你在本地把数据锁进箱子。
- 把箱子发给远程服务器。
- 服务器不用打开箱子，就能直接在箱子里算出新的指令。
- 服务器把算好的新指令（还在箱子里）发回给你。
- 你打开箱子，得到指令，发给机器人。

这样，黑客即使截获了箱子，也看不懂里面的内容，服务器也不知道你在控制什么。

2. 问题：安全是有“代价”的

以前的做法是：先设计好一个完美的控制方案（在没加密的情况下），然后直接把它套用到加密系统里。
但这有个大麻烦：

加密和解密很慢：就像把文件锁进保险箱再打开，需要时间。
数据变大了：加密后的“箱子”比原来的“纸条”大得多，传输需要更久。
计算更重：服务器在箱子里做数学运算，比普通运算慢很多。

后果：这些操作加起来，会导致延迟（Delay）。
想象一下，你给机器人发指令，因为路上堵车（传输慢）和安检（加密慢），指令晚到了。

如果晚得不多，机器人可能只是动作慢半拍。
如果晚得太多，机器人可能还在执行“向左转”的旧指令，但你的新指令是“向右转”，结果机器人就会晕头转向，甚至翻车（系统不稳定）。

论文的核心痛点：加密参数越安全（箱子越厚、锁越复杂），延迟就越大，系统就越容易失控。以前的方法只考虑安全，没考虑这个“时间差”。

3. 解决方案：共同设计（Co-Design）

这篇论文提出了一种**“双管齐下”的新方法，就像“量身定做”**：

以前的做法：先定好锁的型号（加密参数），再强行让机器人适应这个速度。
现在的方法：同时考虑锁的型号和机器人的反应速度。

具体步骤（用比喻解释）：

第一步：量化“时间成本”
作者首先计算了：如果我用这种厚度的锁（参数 $\theta$ ），从发指令到收到反馈，总共需要多少时间（延迟 $\tau$ ）？

这就像计算：寄一个特快专递（加密数据）需要多久？加上安检时间，总共要多久？
他们发现，这个时间完全取决于你选用的加密参数（比如密钥长度、模数大小）。

第二步：寻找“最佳拍档”
作者设计了一个**“外层 - 内层”**的搜索策略：

外层（选锁）：先列出所有符合安全标准（比如 128 位安全）的锁（加密参数）。
内层（调机器人）：对于每一种锁，计算它带来的最大延迟。然后问自己：“在这个延迟下，我能不能给机器人换一套更聪明的控制算法（反馈增益 $K$ $K$ ），让它即使慢半拍也能稳住？”
- 这就像：如果快递要 10 分钟才到，我就调整机器人的反应策略，让它提前预判，而不是死板地等指令。

第三步：数学上的“安全网”
作者用了一种叫**线性矩阵不等式（LMIs）**的数学工具。

这就好比给系统画了一个**“安全围栏”**。
只要你的加密参数和控制器参数落在这个围栏里，无论延迟怎么变（在允许范围内），系统都保证不会翻车。
如果找不到这样的组合，说明这个加密参数太慢了，或者当前的控制器太笨了，需要换。

4. 实验结果：真的有用吗？

作者做了一个仿真实验：

他们选了三种不同强度的加密方案（ $\theta_1, \theta_2, \theta_3$ ）。
结果：
- 方案 $\theta_2$ 和 $\theta_3$ 虽然更安全，但延迟太大，导致无论怎么调控制器，系统都会失控。
- 方案 $\theta_1$ 延迟较小。
- 对于 $\theta_1$ ，他们发现旧的控制器（没考虑延迟的）在延迟增加时会失效。
- 但是，通过他们的新方法，找到了一个新的控制器（ $K_2$ ），即使有延迟，也能让系统稳稳当当。

总结

这篇论文就像是在教我们：在加密控制的世界里，不能只追求“锁得越紧越好”，而要学会“锁”和“控制策略”互相配合。

旧思路：不管延迟多大，强行用原来的控制方法。（结果：系统崩溃）
新思路：根据加密带来的延迟，动态调整控制策略，或者在安全范围内选择延迟最小的加密参数。（结果：既安全又稳定）

这就好比开车：如果你知道前方有严重的堵车（加密延迟），你就不会像平时那样猛踩油门或急刹车，而是会提前减速、保持车距，这样才能安全到达目的地。

这是一份关于论文《加密控制系统中密码学参数与延迟感知反馈增益的协同设计》（Co-Design of Cryptographic Parameters and Delay-Aware Feedback Gain for Encrypted Control Systems）的详细技术总结。

1. 研究背景与问题定义 (Problem)

背景：
网络控制系统（NCS）允许资源受限的设备将计算密集型任务外包给远程服务器，但面临数据隐私泄露的风险（如窃听、半诚实服务器）。同态加密（Homomorphic Encryption, HE）作为一种 promising 的解决方案，允许在密文上直接进行计算，从而保护通信和计算阶段的数据隐私。

核心问题：
现有的加密控制研究大多采用“先设计明文控制器，再在密文上实现”的两步法。然而，这种方法存在严重缺陷：

加密引入的延迟： HE 会导致不可忽略的通信延迟（密文尺寸远大于明文）和计算延迟（加密、解密、同态乘法）。
延迟与安全的权衡： 延迟通常随安全级别（密钥长度、模数大小）的增加而增加。
性能退化与失稳： 如果忽略这些延迟，原本在明文域稳定的控制器，在加密实施后可能导致闭环系统性能严重下降甚至失稳。
现有研究的不足： 虽然已有研究尝试联合设计密钥长度和控制律，但往往未充分考虑由加密参数直接决定的延迟特性。

目标：
提出一种协同设计框架，联合确定密码学参数集（ $\theta$ ）和延迟感知的反馈增益（ $K$ ），以同时满足安全要求、延迟约束和闭环稳定性。

2. 方法论 (Methodology)

本文提出了一种**“外层 - 内层”（Outer-Inner）**的协同设计流程，主要包含以下步骤：

2.1 延迟量化模型

首先，将加密系统引入的总延迟 $\tau_\theta$ 建模为密码学参数 $\theta = (N, q, \sigma)$ 的函数。
总延迟分解为：
$\tau_\theta = \tau^{Comm}_\theta + \tau^{Enc}_\theta + \tau^{Dec}_\theta + \tau^{\otimes}_\theta$
其中包含通信延迟、传感器加密延迟、执行器解密延迟和服务器同态乘法延迟。
基于通信模型（传输率 $R$ ，传播延迟 $\delta$ ）和 LWE 方案（基于格的学习问题）的计算复杂度分析，推导出了总延迟的上界 $\bar{\tau}_\theta$ ：
$\bar{\tau}_\theta \approx \frac{(n+m)(N+1)d}{R} + 2\delta + Nd(c_{Enc}n + c_{Dec}m + c_{\otimes}mn \log N)$
其中 $N$ 是密钥长度， $q$ 是模数， $d = \lceil \log_2 q \rceil$ 。

2.2 延迟感知的系统建模

考虑带有延迟的闭环系统。假设总延迟 $\tau_\theta$ 在采样间隔内是常数（ $0 \le \tau_\theta < T_s$ ）。
通过零阶保持（ZOH）和离散化，将连续时间系统转化为增广状态空间模型：
$\xi[k+1] = \bar{A}(\tau_\theta, K) \xi[k]$
其中 $\xi[k] = [x[k]^\top, x[k-1]^\top]^\top$ 是增广状态向量。矩阵 $\bar{A}$ 依赖于延迟 $\tau_\theta$ 和反馈增益 $K$ 。

2.3 稳定性条件推导 (LMIs)

为了处理延迟 $\tau_\theta$ 在 $[0, \bar{\tau}_\theta]$ 范围内的不确定性，作者利用矩阵 $\Gamma_1(\tau_\theta)$ 的 Jordan 形式分解，将系统矩阵表示为有限个顶点矩阵的凸组合。
关键结论（命题 1）：
如果存在对称正定矩阵 $P$ ，使得对于所有顶点矩阵 $M_\eta(\theta, K)$ （由延迟边界 $\alpha_i^-$ 和 $\alpha_i^+$ 定义），满足以下线性矩阵不等式（LMI）：
$M_\eta(\theta, K)^\top P M_\eta(\theta, K) - P \prec 0, \quad \forall \eta \in \{-, +\}^\nu$
则对于该参数集 $\theta$ 和增益 $K$ 下的所有可能延迟，闭环系统都是渐近稳定的。

2.4 协同设计算法

算法流程如下：

外层循环（搜索密码学参数）： 根据目标安全级别 $\lambda^*$ ，生成候选的密码学参数集 $\Theta$ 。
延迟检查： 对每个 $\theta \in \Theta$ ，计算延迟上界 $\bar{\tau}_\theta$ 。如果 $\bar{\tau}_\theta \ge T_s$ ，则丢弃该参数（因为延迟超过采样周期通常导致系统不可控）。
内层循环（搜索反馈增益）： 对于满足延迟约束的 $\theta$ ，在有限的增益候选集 $\mathcal{K}$ （通常基于无延迟情况设计的增益）中，检查上述 LMI 是否可行。
输出： 返回第一个满足所有条件（安全、延迟、稳定性）的 $(\theta, K)$ 对。

3. 主要贡献 (Key Contributions)

延迟建模与量化： 首次明确地将同态加密的通信和计算延迟量化为密码学参数（ $N, q, \sigma$ ）的显式函数，建立了安全级别与系统延迟之间的数学联系。
延迟感知稳定性判据： 推导了基于有限集线性矩阵不等式（LMIs）的充分条件，用于验证在加密引入的时变延迟下闭环系统的稳定性。
协同设计框架： 提出了一种可处理的“外层 - 内层”设计算法，打破了传统“先设计控制器后适配加密”的局限，实现了安全参数与控制性能的联合优化。
理论保证： 证明了在满足 LMI 条件的情况下，即使延迟在估计的上界内波动，系统也能保持稳定。

4. 仿真结果 (Simulation Results)

实验设置： 使用 Lattigo 库（BGV 方案）实现加密控制器。对象为双积分器系统，采样时间 $T_s = 25$ ms。目标安全级别 $\lambda^* = 128$ bits。
参数选择： 测试了三组候选参数（ $\theta_1, \theta_2, \theta_3$ $θ_{1}, θ_{2}, θ_{3}$ ），对应不同的密钥长度和模数。
- $\theta_2$ 和 $\theta_3$ 的延迟上界超过了 $T_s$ ，被直接排除。
- 只有 $\theta_1$ （较小的参数）满足延迟约束（ $\bar{\tau}_{\theta_1} \approx 19.15$ ms < 25 ms）。
控制器对比：
- $K_1$ （无延迟设计）： 在延迟存在时，随着延迟增加，系统性能恶化，当延迟达到 $3/4 \bar{\tau}_{\theta_1}$ 时系统失稳。
- $K_2$ （延迟感知设计）： 通过 LMI 筛选出的增益。仿真显示，即使在最大估计延迟下， $K_2$ 仍能保持系统稳定。
结论： 仿真验证了协同设计的必要性。仅靠传统设计无法在加密环境下保证稳定性，而本文提出的方法能有效找到满足安全和稳定性的参数组合。

5. 意义与展望 (Significance)

理论意义： 填补了加密控制领域在“安全 - 延迟 - 稳定性”联合优化方面的理论空白。它表明在加密控制中，不能孤立地看待密码学参数和控制律设计。
工程价值： 为实际部署加密控制系统提供了可操作的指导：
1. 必须根据硬件性能和安全需求，预先评估加密带来的延迟。
2. 如果延迟过大，必须降低安全参数（在允许范围内）或重新设计控制器以适应延迟。
3. 提供了一种基于 LMI 的自动化工具来寻找可行的配置。
未来工作： 论文指出，目前的增益搜索是在有限候选集中进行的。未来的工作将致力于开发更高效的算法，直接同时优化增益 $K$ 和 Lyapunov 矩阵 $P$ ，以解决非凸性问题，从而获得更优的控制性能。

总结： 该论文通过建立加密延迟与密码学参数的数学模型，并提出基于 LMI 的协同设计算法，成功解决了加密控制系统中因延迟导致的稳定性问题，为构建安全、可靠的网络控制系统提供了重要的理论依据和工程方案。