A revised and extended version of McShane-Whitney extensions for fuzzy Lipschitz maps

1. Enunciato del Problema

Il lavoro affronta una lacuna critica nella letteratura esistente riguardante l'estensione di mappe fuzzy Lipschitz da un sottoinsieme di uno spazio metrico fuzzy all'intero spazio. Nello specifico, critica un risultato precedente pubblicato su Fuzzy Sets and Systems (2021) dagli stessi autori.

• Il Difetto: Il lavoro del 2021 ha stabilito un teorema di estensione McShane-Whitney per mappe verso uno spazio metrico fuzzy euclideo $(\mathbb{R}, M_{\phi,g}, *)$. Tuttavia, le dimostrazioni in quell'opera si basavano implicitamente sull'esistenza della funzione inversa $\phi^{-1}$.
• La Contraddizione: Nella definizione di uno spazio metrico fuzzy euclideo, la funzione $\phi: [0, +\infty) \to [0, +\infty)$ è richiesta solo di essere crescente. Non è necessariamente biiettiva (uno-a-uno e su). Come notato nel lavoro, $\phi$ è anche limitata, il che significa che un'inversa standard $\phi^{-1}$ spesso non esiste.
• L'Obiettivo: Gli autori mirano a correggere queste dimostrazioni ed estendere il teorema sostituendo l'inversa inesistente $\phi^{-1}$ con un'alternativa matematicamente rigorosa che funzioni per funzioni crescenti $\phi$ generali.

2. Metodologia

Gli autori impiegano strumenti dalla teoria degli insiemi fuzzy, dalla geometria metrica e dalla teoria dell'ordine (in particolare le connessioni di Galois) per risolvere il problema.

• Raffinamento della Definizione dello Spazio: Introducono il concetto di spazio metrico fuzzy euclideo left-continuo. Ciò richiede che $\phi$ non sia solo crescente, ma anche left-continua (continua da sinistra).
• Introduzione dell'Adiunto Destro ($\phi^*$):
  • Poiché $\phi$ potrebbe non essere invertibile, gli autori utilizzano l'adiunto destro (o residuo) di $\phi$, indicato come $\phi^*$.
  • Definito come: $\phi^*(y) = \sup \{x \in [0, +\infty] : \phi(x) \leq y\}$.
  • Proprietà Chiave:
    1. $\text{id} \leq \phi^* \circ \phi$ (La composizione è maggiore o uguale all'identità).
    2. Se $\phi$ è crescente e left-continua, allora $\phi \circ \phi^* \leq \text{id}$.
  • Ciò permette agli autori di "invertire" la logica delle disuguaglianze senza richiedere che $\phi$ sia biiettiva.
• Gestione della Limitatezza: Gli autori identificano che se $\phi$ è limitata (il che è vero per le metriche fuzzy), $\phi^*$ può assumere il valore $+\infty$ per ingressi grandi. Per impedire che ciò rompa l'estensione, introducono una condizione di limitatezza sulla costante di Lipschitz rispetto al supremo di $\phi$.

3. Contributi Chiave

A. Correzione Teorica

Il lavoro corregge la definizione e le dimostrazioni del teorema di estensione McShane-Whitney per mappe fuzzy Lipschitz. Dimostra che l'assunzione di $\phi$ invertibile era inutile e errata; la left-continuità di $\phi$ e l'uso del suo adiunto destro $\phi^*$ sono sufficienti.

B. Teorema Rivisto (Teorema 5)

Gli autori presentano una versione corretta del teorema di estensione con un vincolo specifico:

• Condizione: Affinché l'estensione esista, il termine che coinvolge la costante di Lipschitz $K(t)$, la funzione $g(t)$ e la distanza fuzzy $(1 - M(x,y,t))$ deve essere strettamente minore di $\phi(+\infty)$.
• Significato: Ciò garantisce che l'argomento passato a $\phi^*$ rimanga entro un intervallo in cui è finito, impedendo che l'estensione diventi indefinita.

C. Formule di Estensione Esplicite

Il lavoro fornisce formule corrette per le estensioni McShane e Whitney. Invece di utilizzare $\phi^{-1}$, le formule ora utilizzano $\phi^*$:

• Estensione McShane ($f^M$):
  $$f^M(x, t) = \sup_{s \in S} \left\{ f(s, t) - \phi^*\left( \frac{K(t)}{g(t)} (1 - M(x, s, t)) \right) \right\}$$
• Estensione Whitney ($f^W$):
  $$f^W(x, t) = \inf_{s \in S} \left\{ f(s, t) + \phi^*\left( \frac{K(t)}{g(t)} (1 - M(x, s, t)) \right) \right\}$$

D. Applicazione ad Esempi Specifici

Gli autori riesaminano due esempi specifici del lavoro originale del 2021 dove $\phi(x) = \min\{x, 1\}$ (che non è biiettivo).

• Dimostrano che le formule originali erano invalide perché $\phi^{-1}$ non esiste per questa funzione.
• Derivano le formule esplicite corrette utilizzando $\phi^*$, che in questo caso specifico agisce come una funzione a tratti (scalando per un fattore 2 per valori piccoli e diventando infinita per valori grandi, soggetto al vincolo di limitatezza).

4. Risultati

• Dimostrazione di Esistenza: Il lavoro dimostra che, sotto la condizione che $\phi$ sia left-continua e che la condizione di Lipschitz soddisfi il vincolo di limitatezza, un'estensione fuzzy Lipschitz esiste sempre.
• Preservazione delle Proprietà: Le estensioni costruite ($f^M$ e $f^W$) sono dimostrate essere mappe fuzzy Lipschitz sull'intero spazio $X \times (0, +\infty)$.
• Generalizzazione: I risultati si applicano a una classe più ampia di spazi metrici fuzzy euclidei di quanto si pensasse in precedenza, rimuovendo l'assunzione restrittiva (e spesso falsa) di biiettività per $\phi$.

5. Significato

• Rigor Matematico: Il lavoro rettifica un errore logico sottile ma significativo nella teoria fondante delle estensioni fuzzy Lipschitz. Garantisce che i teoremi in questo campo si basino su condizioni necessarie e sufficienti piuttosto che su assunzioni implicite.
• Applicabilità Pratica: Fornendo formule corrette per funzioni $\phi$ non biiettive (come $\min\{x, 1\}$), il lavoro rende il teorema di estensione McShane-Whitney applicabile a una gamma più ampia di spazi metrici fuzzy pratici utilizzati nell'analisi dei dati, nell'elaborazione delle immagini e nel ragionamento approssimato.
• Quadro Teorico: L'introduzione dell'adiunto destro $\phi^*$ come strumento standard per gestire funzioni di metrica fuzzy non invertibili stabilisce un quadro robusto per la ricerca futura negli spazi metrici fuzzy e nell'analisi fuzzy Lipschitz.

In sintesi, questo lavoro funge da necessaria correzione ed estensione del lavoro precedente, sostituendo la dipendenza difettosa dalle funzioni inverse con un approccio rigoroso basato sulla teoria dell'ordine che utilizza gli adiunti destri, consolidando così la fondazione teorica per l'estensione delle mappe fuzzy Lipschitz.