A revised and extended version of McShane-Whitney extensions for fuzzy Lipschitz maps

1. Formulação do Problema

O artigo aborda uma lacuna crítica na literatura existente referente à extensão de mapas Lipschitz fuzzy de um subconjunto de um espaço métrico fuzzy para todo o espaço. Especificamente, ele critica um resultado anterior publicado em Fuzzy Sets and Systems (2021) pelos mesmos autores.

• O Defeito: O artigo de 2021 estabeleceu um teorema de extensão de McShane-Whitney para mapas em um espaço métrico fuzzy Euclidiano $(\mathbb{R}, M_{\phi,g}, *)$. No entanto, as provas nesse trabalho dependiam implicitamente da existência da função inversa $\phi^{-1}$.
• A Contradição: Na definição de um espaço métrico fuzzy Euclidiano, a função $\phi: [0, +\infty) \to [0, +\infty)$ é apenas exigida ser crescente. Não é necessariamente bijetiva (um-a-um e sobrejetiva). Como observado no artigo, $\phi$ também é limitada, o que significa que uma inversa padrão $\phi^{-1}$ frequentemente não existe.
• O Objetivo: Os autores visam corrigir essas provas e estender o teorema substituindo a inexistente inversa $\phi^{-1}$ por uma alternativa matematicamente rigorosa que funcione para funções crescentes gerais $\phi$.

2. Metodologia

Os autores empregam ferramentas da teoria dos conjuntos fuzzy, geometria métrica e teoria da ordem (especificamente conexões de Galois) para resolver a questão.

• Refinamento da Definição do Espaço: Eles introduzem o conceito de um espaço métrico fuzzy Euclidiano à esquerda contínuo. Isso exige que $\phi$ seja não apenas crescente, mas também contínua à esquerda.
• Introdução do Adjunto à Direita ($\phi^*$):
  • Como $\phi$ pode não ser invertível, os autores utilizam o adjunto à direita (ou residual) de $\phi$, denotado como $\phi^*$.
  • Definido como: $\phi^*(y) = \sup \{x \in [0, +\infty] : \phi(x) \leq y\}$.
  • Propriedades Chave:
    1. $\text{id} \leq \phi^* \circ \phi$ (A composição é maior ou igual à identidade).
    2. Se $\phi$ é crescente e contínua à esquerda, então $\phi \circ \phi^* \leq \text{id}$.
  • Isso permite aos autores "inverter" a lógica da desigualdade sem exigir que $\phi$ seja bijetiva.
• Tratamento da Limitação: Os autores identificam que, se $\phi$ é limitada (o que é verdade para métricas fuzzy), $\phi^*$ pode assumir o valor $+\infty$ para entradas grandes. Para evitar que isso quebre a extensão, eles introduzem uma condição de limitação na constante Lipschitz relativa ao supremo de $\phi$.

3. Contribuições Principais

A. Correção Teórica

O artigo corrige a definição e as provas do teorema de extensão de McShane-Whitney para mapas Lipschitz fuzzy. Ele demonstra que a suposição de que $\phi$ é invertível era desnecessária e incorreta; a continuidade à esquerda de $\phi$ e o uso de seu adjunto à direita $\phi^*$ são suficientes.

B. Teorema Revisado (Teorema 5)

Os autores apresentam uma versão corrigida do teorema de extensão com uma restrição específica:

• Condição: Para que a extensão exista, o termo envolvendo a constante Lipschitz $K(t)$, a função $g(t)$ e a distância fuzzy $(1 - M(x,y,t))$ deve ser estritamente menor que $\phi(+\infty)$.
• Significado: Isso garante que o argumento passado para $\phi^*$ permaneça dentro de uma faixa onde é finito, impedindo que a extensão se torne indefinida.

C. Fórmulas de Extensão Explícitas

O artigo fornece fórmulas corrigidas para as extensões McShane e Whitney. Em vez de usar $\phi^{-1}$, as fórmulas agora utilizam $\phi^*$:

• Extensão McShane ($f^M$):
  $$f^M(x, t) = \sup_{s \in S} \left\{ f(s, t) - \phi^*\left( \frac{K(t)}{g(t)} (1 - M(x, s, t)) \right) \right\}$$
• Extensão Whitney ($f^W$):
  $$f^W(x, t) = \inf_{s \in S} \left\{ f(s, t) + \phi^*\left( \frac{K(t)}{g(t)} (1 - M(x, s, t)) \right) \right\}$$

D. Aplicação a Exemplos Específicos

Os autores revisitam dois exemplos específicos do artigo original de 2021 onde $\phi(x) = \min\{x, 1\}$ (o que não é bijetivo).

• Eles demonstram que as fórmulas originais eram inválidas porque $\phi^{-1}$ não existe para esta função.
• Eles derivam as fórmulas explícitas corrigidas usando $\phi^*$, que neste caso específico atua como uma função por partes (escalando por 2 para valores pequenos e tornando-se infinita para valores grandes, sujeita à restrição de limitação).

4. Resultados

• Prova de Existência: O artigo prova que, sob a condição de que $\phi$ é contínua à esquerda e a condição Lipschitz satisfaz a restrição de limitação, uma extensão Lipschitz fuzzy sempre existe.
• Preservação de Propriedades: As extensões construídas ($f^M$ e $f^W$) são provadas ser mapas Lipschitz fuzzy em todo o espaço $X \times (0, +\infty)$.
• Generalização: Os resultados aplicam-se a uma classe mais ampla de espaços métricos fuzzy Euclidianos do que se pensava anteriormente, removendo a suposição restritiva (e frequentemente falsa) de bijetividade para $\phi$.

5. Significado

• Rigor Matemático: O artigo retifica um erro lógico sutil, mas significativo, na teoria fundamental das extensões Lipschitz fuzzy. Ele garante que os teoremas neste campo dependam de condições necessárias e suficientes em vez de suposições implícitas.
• Aplicabilidade Prática: Ao fornecer fórmulas corretas para funções $\phi$ não-bijetivas (como $\min\{x, 1\}$), o artigo torna o teorema de extensão de McShane-Whitney aplicável a uma gama mais ampla de espaços métricos fuzzy práticos usados em análise de dados, processamento de imagens e raciocínio aproximado.
• Estrutura Teórica: A introdução do adjunto à direita $\phi^*$ como uma ferramenta padrão para lidar com funções de métrica fuzzy não-invertíveis estabelece uma estrutura robusta para pesquisas futuras em espaços métricos fuzzy e análise Lipschitz fuzzy.

Em resumo, este artigo serve como uma correção e extensão necessárias ao trabalho anterior, substituindo a dependência falha de funções inversas por uma abordagem rigorosa da teoria da ordem usando adjuntos à direita, solidificando assim a base teórica para a extensão de mapas Lipschitz fuzzy.