A revised and extended version of McShane-Whitney extensions for fuzzy Lipschitz maps

1. Probleemstelling

Het artikel adresseert een kritieke lacune in de bestaande literatuur betreffende de extensie van fuzzy Lipschitz-afbeeldingen van een deelverzameling van een fuzzy metrische ruimte naar de gehele ruimte. Specifiek bekritiseert het een eerder resultaat gepubliceerd in Fuzzy Sets and Systems (2021) door dezelfde auteurs.

• De Fout: Het artikel uit 2021 stelde een McShane-Whitney-extensiestelling op voor afbeeldingen naar een Euclidische fuzzy metrische ruimte $(\mathbb{R}, M_{\phi,g}, *)$. Echter, de bewijzen in dat werk berustten impliciet op het bestaan van de inverse functie $\phi^{-1}$.
• De Contradictie: In de definitie van een Euclidische fuzzy metrische ruimte wordt van de functie $\phi: [0, +\infty) \to [0, +\infty)$ slechts vereist dat deze strikt stijgend is. Deze is niet noodzakelijk bijectief (één-op-één en op). Zoals in het artikel wordt opgemerkt, is $\phi$ ook begrensd, wat betekent dat een standaard inverse $\phi^{-1}$ vaak niet bestaat.
• Het Doel: De auteurs beogen deze bewijzen te corrigeren en de stelling uit te breiden door de niet-bestaande inverse $\phi^{-1}$ te vervangen door een wiskundig rigoureuze alternatief dat werkt voor algemene stijgende functies $\phi$.

2. Methodologie

De auteurs maken gebruik van hulpmiddelen uit de fuzzy-settheorie, metrische meetkunde en ordetheorie (specifiek Galois-verbindingen) om het probleem op te lossen.

• Verfijning van de Ruimtedefinitie: Zij introduceren het concept van een linkscontinu Euclidische fuzzy metrische ruimte. Dit vereist dat $\phi$ niet alleen stijgend is, maar ook linkscontinu.
• Introductie van de Rechtsgeadjungeerde ($\phi^*$):
  • Aangezien $\phi$ mogelijk niet omkeerbaar is, maken de auteurs gebruik van de rechtsgeadjungeerde (of residual) van $\phi$, aangeduid als $\phi^*$.
  • Gedefinieerd als: $\phi^*(y) = \sup \{x \in [0, +\infty] : \phi(x) \leq y\}$.
  • Belangrijkste Eigenschappen:
    1. $\text{id} \leq \phi^* \circ \phi$ (De samenstelling is groter dan of gelijk aan de identiteit).
    2. Als $\phi$ stijgend en linkscontinu is, dan geldt $\phi \circ \phi^* \leq \text{id}$.
  • Dit stelt de auteurs in staat de logica van ongelijkheden te "inverteren" zonder dat $\phi$ bijectief hoeft te zijn.
• Omgaan met Begrensdheid: De auteurs identificeren dat als $\phi$ begrensd is (wat waar is voor fuzzy metrieken), $\phi^*$ de waarde $+\infty$ kan aannemen voor grote invoerwaarden. Om te voorkomen dat dit de extensie onmogelijk maakt, introduceren zij een begrensdheidsvoorwaarde voor de Lipschitz-constante ten opzichte van het supremum van $\phi$.

3. Belangrijkste Bijdragen

A. Theoretische Correctie

Het artikel corrigeert de definitie en bewijzen van de McShane-Whitney-extensiestelling voor fuzzy Lipschitz-afbeeldingen. Het toont aan dat de aanname dat $\phi$ omkeerbaar is, onnodig en onjuist was; de linkscontinuïteit van $\phi$ en het gebruik van zijn rechtsgeadjungeerde $\phi^*$ zijn voldoende.

B. Herziene Stelling (Stelling 5)

De auteurs presenteren een gecorrigeerde versie van de extensiestelling met een specifieke beperking:

• Voorwaarde: Voor de extensie om te bestaan, moet de term die de Lipschitz-constante $K(t)$, de functie $g(t)$ en de fuzzy-afstand $(1 - M(x,y,t))$ bevat, strikt kleiner zijn dan $\phi(+\infty)$.
• Betekenis: Dit zorgt ervoor dat het argument dat aan $\phi^*$ wordt doorgegeven, binnen een bereik blijft waar het eindig is, waardoor wordt voorkomen dat de extensie ongedefinieerd wordt.

C. Expliciete Extensieformules

Het artikel biedt gecorrigeerde formules voor de McShane- en Whitney-extensies. In plaats van $\phi^{-1}$ te gebruiken, maken de formules nu gebruik van $\phi^*$:

• McShane-extensie ($f^M$):
  $$f^M(x, t) = \sup_{s \in S} \left\{ f(s, t) - \phi^*\left( \frac{K(t)}{g(t)} (1 - M(x, s, t)) \right) \right\}$$
• Whitney-extensie ($f^W$):
  $$f^W(x, t) = \inf_{s \in S} \left\{ f(s, t) + \phi^*\left( \frac{K(t)}{g(t)} (1 - M(x, s, t)) \right) \right\}$$

D. Toepassing op Specifieke Voorbeelden

De auteurs bekijken twee specifieke voorbeelden uit het oorspronkelijke artikel uit 2021 opnieuw, waarbij $\phi(x) = \min\{x, 1\}$ (wat niet bijectief is).

• Zij tonen aan dat de oorspronkelijke formules ongeldig waren omdat $\phi^{-1}$ niet bestaat voor deze functie.
• Zij leiden de gecorrigeerde expliciete formules af met behulp van $\phi^*$, wat in dit specifieke geval optreedt als een stuksgewijze functie (schalen met factor 2 voor kleine waarden en oneindig worden voor grote waarden, onderhevig aan de begrensdheidsvoorwaarde).

4. Resultaten

• Existentiebewijs: Het artikel bewijst dat onder de voorwaarde dat $\phi$ linkscontinu is en de Lipschitz-voorwaarde voldoet aan de begrensdheidsbeperking, een fuzzy Lipschitz-extensie altijd bestaat.
• Behoud van Eigenschappen: De geconstrueerde extensies ($f^M$ en $f^W$) worden bewezen te zijn fuzzy Lipschitz-afbeeldingen op de gehele ruimte $X \times (0, +\infty)$.
• Generalisatie: De resultaten zijn van toepassing op een bredere klasse van Euclidische fuzzy metrische ruimten dan eerder werd gedacht, waardoor de beperkende (en vaak onjuiste) aanname van bijectiviteit voor $\phi$ wordt verwijderd.

5. Betekenis

• Wiskundige Rigor: Het artikel rechtvaardigt een subtiel maar significant logisch fout in de fundamentele theorie van fuzzy Lipschitz-extensies. Het zorgt ervoor dat stellingen op dit gebied steunen op noodzakelijke en toereikende voorwaarden in plaats van impliciete aannames.
• Praktische Toepasbaarheid: Door correcte formules te bieden voor niet-bijectieve $\phi$-functies (zoals $\min\{x, 1\}$), maakt het artikel de McShane-Whitney-extensiestelling toepasbaar op een bredere reeks praktische fuzzy metrische ruimten die worden gebruikt in data-analyse, beeldverwerking en benaderend redeneren.
• Theoretisch Kader: De introductie van de rechtsgeadjungeerde $\phi^*$ als een standaardinstrument voor het behandelen van niet-omkeerbare fuzzy metrische functies vestigt een robuust kader voor toekomstig onderzoek in fuzzy metrische ruimten en fuzzy Lipschitz-analyse.

Kortom, dit artikel dient als een noodzakelijke correctie en uitbreiding van eerder werk, waarbij de gebrekkige afhankelijkheid van inverse functies wordt vervangen door een rigoureuze ordetheoretische aanpak met behulp van rechtsgeadjungeerden, waardoor de theoretische fundering voor het uitbreiden van fuzzy Lipschitz-afbeeldingen wordt versterkt.