A revised and extended version of McShane-Whitney extensions for fuzzy Lipschitz maps

1. Énoncé du problème

L'article comble une lacune critique dans la littérature existante concernant l'extension des applications lipschitziennes floues d'un sous-ensemble d'un espace métrique flou à l'ensemble de l'espace. Plus précisément, il critique un résultat précédent publié dans Fuzzy Sets and Systems (2021) par les mêmes auteurs.

• Le défaut : L'article de 2021 a établi un théorème d'extension de McShane-Whitney pour des applications à valeurs dans un espace métrique flou euclidien $(\mathbb{R}, M_{\phi,g}, *)$. Cependant, les preuves de ce travail reposaient implicitement sur l'existence de la fonction inverse $\phi^{-1}$.
• La contradiction : Dans la définition d'un espace métrique flou euclidien, la fonction $\phi: [0, +\infty) \to [0, +\infty)$ n'est requise que pour être croissante. Elle n'est pas nécessairement bijective (univoque et surjective). Comme le note l'article, $\phi$ est également bornée, ce qui signifie qu'une inverse standard $\phi^{-1}$ n'existe souvent pas.
• L'objectif : Les auteurs visent à corriger ces preuves et à étendre le théorème en remplaçant l'inverse inexistant $\phi^{-1}$ par une alternative mathématiquement rigoureuse qui fonctionne pour les fonctions croissantes $\phi$ générales.

2. Méthodologie

Les auteurs utilisent des outils issus de la théorie des ensembles flous, de la géométrie métrique et de la théorie de l'ordre (spécifiquement les connexions de Galois) pour résoudre le problème.

• Affinement de la définition de l'espace : Ils introduisent le concept d'un espace métrique flou euclidien à continuité gauche. Cela exige que $\phi$ soit non seulement croissante, mais aussi à continuité gauche.
• Introduction de l'adjoint à droite ($\phi^*$) :
  • Puisque $\phi$ peut ne pas être inversible, les auteurs utilisent l'adjoint à droite (ou résiduel) de $\phi$, noté $\phi^*$.
  • Défini comme suit : $\phi^*(y) = \sup \{x \in [0, +\infty] : \phi(x) \leq y\}$.
  • Propriétés clés :
    1. $\text{id} \leq \phi^* \circ \phi$ (La composition est supérieure ou égale à l'identité).
    2. Si $\phi$ est croissante et à continuité gauche, alors $\phi \circ \phi^* \leq \text{id}$.
  • Cela permet aux auteurs d'inverser la logique des inégalités sans exiger que $\phi$ soit bijective.
• Gestion de la bornitude : Les auteurs identifient que si $\phi$ est bornée (ce qui est vrai pour les métriques floues), $\phi^*$ peut prendre la valeur $+\infty$ pour de grandes entrées. Pour éviter que cela ne rompe l'extension, ils introduisent une condition de bornitude sur la constante de Lipschitz par rapport au supremum de $\phi$.

3. Contributions clés

A. Correction théorique

L'article corrige la définition et les preuves du théorème d'extension de McShane-Whitney pour les applications lipschitziennes floues. Il démontre que l'hypothèse selon laquelle $\phi$ serait inversible était inutile et incorrecte ; la continuité gauche de $\phi$ et l'utilisation de son adjoint à droite $\phi^*$ suffisent.

B. Théorème révisé (Théorème 5)

Les auteurs présentent une version corrigée du théorème d'extension avec une contrainte spécifique :

• Condition : Pour que l'extension existe, le terme impliquant la constante de Lipschitz $K(t)$, la fonction $g(t)$ et la distance floue $(1 - M(x,y,t))$ doit être strictement inférieur à $\phi(+\infty)$.
• Signification : Cela garantit que l'argument transmis à $\phi^*$ reste dans une plage où il est fini, empêchant l'extension de devenir indéfinie.

C. Formules d'extension explicites

L'article fournit des formules corrigées pour les extensions McShane et Whitney. Au lieu d'utiliser $\phi^{-1}$, les formules utilisent désormais $\phi^*$ :

• Extension de McShane ($f^M$) :
  $$f^M(x, t) = \sup_{s \in S} \left\{ f(s, t) - \phi^*\left( \frac{K(t)}{g(t)} (1 - M(x, s, t)) \right) \right\}$$
• Extension de Whitney ($f^W$) :
  $$f^W(x, t) = \inf_{s \in S} \left\{ f(s, t) + \phi^*\left( \frac{K(t)}{g(t)} (1 - M(x, s, t)) \right) \right\}$$

D. Application à des exemples spécifiques

Les auteurs revisitent deux exemples spécifiques de l'article original de 2021 où $\phi(x) = \min\{x, 1\}$ (qui n'est pas bijectif).

• Ils démontrent que les formules originales étaient invalides car $\phi^{-1}$ n'existe pas pour cette fonction.
• Ils dérivent les formules explicites corrigées en utilisant $\phi^*$, qui, dans ce cas spécifique, agit comme une fonction par morceaux (mise à l'échelle par 2 pour les petites valeurs et devenant infinie pour les grandes valeurs, sous réserve de la contrainte de bornitude).

4. Résultats

• Preuve d'existence : L'article prouve que, sous la condition que $\phi$ soit à continuité gauche et que la condition de Lipschitz satisfasse la contrainte de bornitude, une extension lipschitzienne floue existe toujours.
• Préservation des propriétés : Les extensions construites ($f^M$ et $f^W$) sont prouvées être des applications lipschitziennes floues sur l'ensemble de l'espace $X \times (0, +\infty)$.
• Généralisation : Les résultats s'appliquent à une classe plus large d'espaces métriques flous euclidiens que ce qui était pensé précédemment, éliminant l'hypothèse restrictive (et souvent fausse) de la bijectivité pour $\phi$.

5. Importance

• Rigueur mathématique : L'article rectifie une erreur logique subtile mais significative dans la théorie fondamentale des extensions lipschitziennes floues. Il garantit que les théorèmes dans ce domaine reposent sur des conditions nécessaires et suffisantes plutôt que sur des hypothèses implicites.
• Applicabilité pratique : En fournissant des formules correctes pour les fonctions $\phi$ non bijectives (comme $\min\{x, 1\}$), l'article rend le théorème d'extension de McShane-Whitney applicable à un éventail plus large d'espaces métriques flous pratiques utilisés dans l'analyse de données, le traitement d'images et le raisonnement approximatif.
• Cadre théorique : L'introduction de l'adjoint à droite $\phi^*$ en tant qu'outil standard pour gérer les fonctions d'espace métrique flou non inversibles établit un cadre robuste pour les recherches futures sur les espaces métriques flous et l'analyse lipschitzienne floue.

En résumé, cet article sert de correction et d'extension nécessaires aux travaux antérieurs, remplaçant la dépendance erronée aux fonctions inverses par une approche rigoureuse de la théorie de l'ordre utilisant les adjoints à droite, consolidant ainsi le fondement théorique pour l'extension des applications lipschitziennes floues.