A Derived Legendrian Category for Shifted Contact Stacks

Riepilogo Tecnico: Una Categoria Legendriana Derivata per Stack di Contatto Spostati

Enunciato del Problema
Nella geometria algebrica derivata, le relazioni geometriche tra spazi di moduli derivati sono tipicamente formalizzate utilizzando la $(\infty, 2)$-categoria degli stack di Poisson spostati (denotata $\text{Lag}_n$ o $\text{Symp}_n$), dove i morfismi sono corrispondenze lagrangiane. Tuttavia, certi problemi di moduli—come quelli che coinvolgono azioni di Frobenius su sistemi locali $\ell$-adici, fasci di Higgs proiettivi e gruppi di Lie 2—non producono quozienti simplittici spostati. Invece, questi quozienti possiedono strutture che sono "fissate a meno di un carattere", risultando in quelle che gli autori definiscono strutture di contatto spostate.

Il quadro esistente delle corrispondenze lagrangiane è insufficiente per questi contesti di contatto "a dimensione dispari". Il lavoro affronta la necessità di una fondazione categoriale corrispondente in cui le corrispondenze lagrangiane sono sostituite da corrispondenze legendriane, e in cui la composizione dei morfismi rispetta la natura equivariante specifica della geometria di contatto.

Metodologia
Gli autori costruiscono la categoria legendriana derivata $\mathcal{F}_c(X)$ per uno stack di Artin derivato di contatto $n$-spostato $X$ sfruttando la relazione tra geometria di contatto e geometria simplittica tramite la simplittificazione derivata.

1. Simplittificazione Derivata: Una struttura di contatto $n$-spostata su uno stack $X$ è codificata come una struttura simplittica $n$-spostata $\mathbb{G}_m$-equivariante di peso 1 su un fibrato principale $\mathbb{G}_m$ $\tilde{X}$ (la simplittificazione). Ciò si basa sul risultato che $X \simeq [\tilde{X}/\mathbb{G}_m]$.
2. Morfismi Legendriani: Gli oggetti nella nuova categoria sono definiti come morfismi legendriani $f: L \to X$. Questi sono caratterizzati dal fatto che i loro sollevamenti $\tilde{f}: \tilde{L} \to \tilde{X}$ sono morfismi lagrangiani nella simplittificazione $\tilde{X}$, equivarianti rispetto all'azione di $\mathbb{G}_m$.
3. Spazi di Morfismi tramite Discesa: Gli spazi di morfismi $\text{Hom}_{\mathcal{F}_c(X)}(L_1, L_2)$ sono costruiti prendendo l'intersezione derivata dei sollevamenti lagrangiani $\tilde{L}_1$ e $\tilde{L}_2$ all'interno di $\tilde{X}$. Questa intersezione eredita una struttura simplittica $(n-1)$-spostata $\mathbb{G}_m$-equivariante. Lo spazio di morfismi effettivo nella categoria di contatto è ottenuto mediante discesa equivariante (prendendo il quoziente di stack) di questa intersezione, producendo uno stack di contatto $(n-1)$-spostato.
4. Struttura Categoriale Superiore: La composizione e i morfismi superiori sono definiti utilizzando la $(\infty, 2)$-categoria degli span lagrangiani nella simplittificazione $\tilde{X}$. Gli autori dimostrano che l'$\mathbb{G}_m$-equivarianza di questi span permette loro di discendere alla base di contatto $X$, preservando le condizioni di coerenza richieste per una $(\infty, 2)$-categoria.
5. Costruzione AKSZ: Gli autori utilizzano la costruzione AKSZ per mappare cobordismi topologici in span lagrangiani nella simplittificazione, che poi discendono per definire la chirurgia legendriana derivata nella categoria di contatto.

Contributi e Risultati Chiave

• Costruzione di $\mathcal{F}_c(X)$: Il lavoro stabilisce l'esistenza di una categoria legendriana derivata ben definita $\mathcal{F}_c(X)$ per qualsiasi stack di Artin derivato di contatto $n$-spostato $X$.
  • Oggetti: Morfismi legendriani $f: L \to X$.
  • 1-Morfismi: Stack derivati ottenuti come discesa di intersezioni derivate di sollevamenti lagrangiani equivarianti.
  • 2-Morfismi e Composizione: Derivati dalla $(\infty, 2)$-categoria degli span lagrangiani tramite discesa equivariante.
• Categoria Globale $\text{Leg}_n$: Gli autori promuovono la collezione di tutti gli stack derivati di contatto $n$-spostati in una $(\infty, 2)$-categoria globale, $\text{Leg}_n$, dove gli oggetti sono stack di contatto, i 1-morfismi sono corrispondenze legendriane e i 2-morfismi sono span legendriani.
• Chirurgia Legendriana Derivata: Utilizzando la costruzione AKSZ, il lavoro definisce un $\infty$-funtore simmetrico monoidale $Z_c: \text{Bord}_d \to \text{Leg}_{k-d+1}$. Questo funtore mappa cobordismi topologici orientati in corrispondenze legendriane, definendo efficacemente la chirurgia legendriana derivata come un'operazione categoriale.

Applicazioni alla Teoria dei Moduli
Il lavoro dimostra l'utilità di questo quadro applicandolo a specifici spazi di moduli derivati:

1. Loci Discriminanti Derivati: Per uno schema liscio $L$, la categoria legendriana derivata dello spazio delle 1-gette $J^1(L)$ codifica il luogo discriminante derivato $\Delta_{\text{loc}}(f)$. La composizione in questa categoria produce una mappa di convoluzione derivata, fornendo un analogo geometrico alla composizione dei nuclei microlocali.
2. Deformazione del Cono Nilpotente: Per lo stack di moduli derivato dei fasci di Higgs proiettivi $\mathcal{P}\text{Higgs}_G(C)$, il cono nilpotente derivato proiettivizzato $\mathbb{P}N$ è un oggetto in $\mathcal{F}_c(\mathcal{P}\text{Higgs}_G(C))$. La composizione categoriale equipaggia il pullback omotopico $\mathbb{P}N \times^h_{\mathcal{P}\text{Higgs}_G(C)} \mathbb{P}N$ con una struttura di algebra $A_\infty$, controllando la teoria delle deformazioni non commutative del cono nilpotente.
3. Teorie di Campo Topologiche: La funtorialità della costruzione collega i cobordismi topologici alla struttura algebrica degli stack di contatto, offrendo un quadro per comprendere la chirurgia legendriana derivata.

Significato
Il lavoro afferma di fornire la fondazione categoriale necessaria per studiare problemi di moduli che sorgono naturalmente nella geometria di contatto piuttosto che nella geometria simplittica. Formalizzando la discesa delle corrispondenze lagrangiane dalle simplittificazioni, gli autori abilitano l'applicazione di strumenti categoriali superiori (span, composizione, chirurgia) a spazi di moduli derivati "a dimensione dispari". Questo colma il divario tra la geometria simplittica derivata e i vincoli geometrici specifici trovati in problemi che coinvolgono sistemi locali $\ell$-adici e fasci di Higgs, permettendo la definizione di algebre di deformazione non commutative e strutture di convoluzione in questi contesti.