A Derived Legendrian Category for Shifted Contact Stacks

Resumo Técnico: Uma Categoria Legendriana Derivada para Pilhas de Contato Deslocadas

Enunciado do Problema
Na geometria algébrica derivada, as relações geométricas entre espaços de módulos derivados são tipicamente formalizadas usando a $(\infty, 2)$-categoria de pilhas simpléticas deslocadas (denotada $\text{Lag}_n$ ou $\text{Symp}_n$), onde os morfismos são correspondências lagrangianas. No entanto, certos problemas de módulos — como aqueles envolvendo ações de Frobenius em sistemas locais $\ell$-ádicos, feixes de Higgs projetivos e grupos de Lie 2 — não produzem quocientes simpléticos deslocados. Em vez disso, esses quocientes possuem estruturas que são "fixas até um caractere", resultando no que os autores denominam estruturas de contato deslocadas.

O quadro existente de correspondências lagrangianas é insuficiente para esses cenários de contato "de dimensão ímpar". O artigo aborda a necessidade de uma fundação categórica correspondente, onde as correspondências lagrangianas são substituídas por correspondências legendrianas, e onde a composição de morfismos respeita a natureza equivariante específica da geometria de contato.

Metodologia
Os autores constroem a categoria legendriana derivada $\mathcal{F}_c(X)$ para uma pilha de Artin derivada de contato $n$-deslocada $X$, aproveitando a relação entre geometria de contato e geometria simplética via simplificação derivada.

1. Simplificação Derivada: Uma estrutura de contato $n$-deslocada em uma pilha $X$ é codificada como uma estrutura simplética $n$-deslocada $\mathbb{G}_m$-equivariante de peso 1 em um fibrado principal $\mathbb{G}_m$ $\tilde{X}$ (a simplificação). Isso depende do resultado de que $X \simeq [\tilde{X}/\mathbb{G}_m]$.
2. Morfismos Legendrianos: Os objetos na nova categoria são definidos como morfismos legendrianos $f: L \to X$. Estes são caracterizados por seus levantamentos $\tilde{f}: \tilde{L} \to \tilde{X}$ serem morfismos lagrangianos na simplificação $\tilde{X}$, equivariantes em relação à ação $\mathbb{G}_m$.
3. Espaços de Morfismos via Descida: Os espaços de morfismos $\text{Hom}_{\mathcal{F}_c(X)}(L_1, L_2)$ são construídos tomando a interseção derivada dos levantamentos lagrangianos $\tilde{L}_1$ e $\tilde{L}_2$ dentro de $\tilde{X}$. Esta interseção herda uma estrutura simplética $(n-1)$-deslocada $\mathbb{G}_m$-equivariante. O espaço de morfismos real na categoria de contato é obtido por descida equivariante (tomando o quociente de pilha) desta interseção, produzindo uma pilha de contato $(n-1)$-deslocada.
4. Estrutura Categórica Superior: A composição e os morfismos superiores são definidos usando a $(\infty, 2)$-categoria de spans lagrangianos na simplificação $\tilde{X}$. Os autores demonstram que a $\mathbb{G}_m$-equivariância desses spans permite que eles desçam para a base de contato $X$, preservando as condições de coerência necessárias para uma $(\infty, 2)$-categoria.
5. Construção AKSZ: Os autores utilizam a construção AKSZ para mapear cobordismos topológicos em spans lagrangianos na simplificação, que então descem para definir cirurgia legendriana derivada na categoria de contato.

Contribuições e Resultados Principais

• Construção de $\mathcal{F}_c(X)$: O artigo estabelece a existência de uma categoria legendriana derivada bem definida $\mathcal{F}_c(X)$ para qualquer pilha de Artin derivada de contato $n$-deslocada $X$.
  • Objetos: Morfismos legendrianos $f: L \to X$.
  • 1-Morfismos: Pilhas derivadas obtidas como a descida de interseções derivadas de levantamentos lagrangianos equivariantes.
  • 2-Morfismos e Composição: Derivados da $(\infty, 2)$-categoria de spans lagrangianos via descida equivariante.
• Categoria Global $\text{Leg}_n$: Os autores promovem a coleção de todas as pilhas derivadas de contato $n$-deslocadas para uma $(\infty, 2)$-categoria global, $\text{Leg}_n$, onde os objetos são pilhas de contato, os 1-morfismos são correspondências legendrianas e os 2-morfismos são spans legendrianos.
• Cirurgia Legendriana Derivada: Usando a construção AKSZ, o artigo define um $\infty$-functor simétrico monoidal $Z_c: \text{Bord}_d \to \text{Leg}_{k-d+1}$. Este functor mapeia cobordismos topológicos orientados para correspondências legendrianas, definindo efetivamente a cirurgia legendriana derivada como uma operação categórica.

Aplicações à Teoria de Módulos
O artigo demonstra a utilidade deste quadro aplicando-o a espaços de módulos derivados específicos:

1. Lócus Discriminante Derivado: Para um esquema suave $L$, a categoria legendriana derivada do espaço de 1-jatos $J^1(L)$ codifica o lócus discriminante derivado $\Delta_{\text{loc}}(f)$. A composição nesta categoria produz um mapa de convolução derivado, fornecendo um análogo geométrico à composição de núcleos microlocais.
2. Deformação do Cone Nilpotente: Para a pilha de módulos derivada de feixes de Higgs projetivos $\mathcal{P}\text{Higgs}_G(C)$, o cone nilpotente derivado projetivizado $\mathbb{P}N$ é um objeto em $\mathcal{F}_c(\mathcal{P}\text{Higgs}_G(C))$. A composição categórica equipa o pullback homotópico $\mathbb{P}N \times^h_{\mathcal{P}\text{Higgs}_G(C)} \mathbb{P}N$ com uma estrutura de álgebra $A_\infty$, controlando a teoria de deformação não comutativa do cone nilpotente.
3. Teorias de Campo Topológicas: A functorialidade da construção liga cobordismos topológicos à estrutura algébrica de pilhas de contato, oferecendo um quadro para entender a cirurgia legendriana derivada.

Significado
O artigo afirma fornecer a fundação categórica necessária para estudar problemas de módulos que surgem naturalmente na geometria de contato em vez da geometria simplética. Ao formalizar a descida de correspondências lagrangianas a partir de simplificações, os autores permitem a aplicação de ferramentas categóricas superiores (spans, composição, cirurgia) a espaços de módulos derivados "de dimensão ímpar". Isso preenche a lacuna entre a geometria simplética derivada e as restrições geométricas específicas encontradas em problemas envolvendo sistemas locais $\ell$-ádicos e feixes de Higgs, permitindo a definição de álgebras de deformação não comutativas e estruturas de convolução nestes contextos.