A Derived Legendrian Category for Shifted Contact Stacks

Resumen Técnico: Una Categoría Legendriana Derivada para Pila de Contacto Desplazada

Enunciado del Problema
En geometría algebraica derivada, las relaciones geométricas entre los espacios de móduli derivados se formalizan típicamente utilizando la $(\infty, 2)$-categoría de pilas simplécticas desplazadas (denotada $\text{Lag}_n$ o $\text{Symp}_n$), donde los morfismos son correspondencias lagrangianas. Sin embargo, ciertos problemas de móduli —tales como aquellos que involucran acciones de Frobenius en sistemas locales $\ell$-ádicos, haces de Higgs proyectivos y grupos de Lie 2— no producen cocientes simplécticos desplazados. En cambio, estos cocientes poseen estructuras que están "fijas hasta un carácter", dando lugar a lo que los autores denominan estructuras de contacto desplazadas.

El marco existente de correspondencias lagrangianas es insuficiente para estos entornos de contacto "de dimensión impar". El artículo aborda la necesidad de una base categórica correspondiente donde las correspondencias lagrangianas sean reemplazadas por correspondencias legendrianas, y donde la composición de morfismos respete la naturaleza equivariante específica de la geometría de contacto.

Metodología
Los autores construyen la categoría legendriana derivada $\mathcal{F}_c(X)$ para una pila de Artin derivada de contacto $n$-desplazada $X$ aprovechando la relación entre la geometría de contacto y la simpléctica mediante la simpléctificación derivada.

1. Simpléctificación Derivada: Una estructura de contacto $n$-desplazada en una pila $X$ se codifica como una estructura simpléctica $n$-desplazada $\mathbb{G}_m$-equivariante de peso 1 en un fibrado principal $\mathbb{G}_m$ $\tilde{X}$ (la simpléctificación). Esto se basa en el resultado de que $X \simeq [\tilde{X}/\mathbb{G}_m]$.
2. Morfismos Legendrianos: Los objetos en la nueva categoría se definen como morfismos legendrianos $f: L \to X$. Estos se caracterizan porque sus levantamientos $\tilde{f}: \tilde{L} \to \tilde{X}$ son morfismos lagrangianos en la simpléctificación $\tilde{X}$, equivariantes con respecto a la acción de $\mathbb{G}_m$.
3. Espacios de Morfismos mediante Descenso: Los espacios de morfismos $\text{Hom}_{\mathcal{F}_c(X)}(L_1, L_2)$ se construyen tomando la intersección derivada de los levantamientos lagrangianos $\tilde{L}_1$ y $\tilde{L}_2$ dentro de $\tilde{X}$. Esta intersección hereda una estructura simpléctica $(n-1)$-desplazada $\mathbb{G}_m$-equivariante. El espacio de morfismos real en la categoría de contacto se obtiene mediante descenso equivariante (tomando el cociente de pila) de esta intersección, dando como resultado una pila de contacto $(n-1)$-desplazada.
4. Estructura Categórica Superior: La composición y los morfismos superiores se definen utilizando la $(\infty, 2)$-categoría de abanicos lagrangianos en la simpléctificación $\tilde{X}$. Los autores demuestran que la $\mathbb{G}_m$-equivarianza de estos abanicos permite que desciendan a la base de contacto $X$, preservando las condiciones de coherencia requeridas para una $(\infty, 2)$-categoría.
5. Construcción AKSZ: Los autores utilizan la construcción AKSZ para mapear cobordismos topológicos a abanicos lagrangianos en la simpléctificación, los cuales luego descienden para definir cirugía legendriana derivada en la categoría de contacto.

Contribuciones y Resultados Clave

• Construcción de $\mathcal{F}_c(X)$: El artículo establece la existencia de una categoría legendriana derivada bien definida $\mathcal{F}_c(X)$ para cualquier pila de Artin derivada de contacto $n$-desplazada $X$.
  • Objetos: Morfismos legendrianos $f: L \to X$.
  • 1-Morfismos: Pilas derivadas obtenidas como el descenso de intersecciones derivadas de levantamientos lagrangianos equivariantes.
  • 2-Morfismos y Composición: Derivados de la $(\infty, 2)$-categoría de abanicos lagrangianos mediante descenso equivariante.
• Categoría Global $\text{Leg}_n$: Los autores promueven la colección de todas las pilas derivadas de contacto $n$-desplazadas a una $(\infty, 2)$-categoría global, $\text{Leg}_n$, donde los objetos son pilas de contacto, los 1-morfismos son correspondencias legendrianas y los 2-morfismos son abanicos legendrianos.
• Cirugía Legendriana Derivada: Utilizando la construcción AKSZ, el artículo define un $\infty$-functor simétrico monoidal $Z_c: \text{Bord}_d \to \text{Leg}_{k-d+1}$. Este functor mapea cobordismos topológicos orientados a correspondencias legendrianas, definiendo efectivamente la cirugía legendriana derivada como una operación categórica.

Aplicaciones a la Teoría de Móduli
El artículo demuestra la utilidad de este marco aplicándolo a espacios de móduli derivados específicos:

1. Loci de Discriminante Derivados: Para un esquema suave $L$, la categoría legendriana derivada del espacio de 1-jet $J^1(L)$ codifica el locus de discriminante derivado $\Delta_{\text{loc}}(f)$. La composición en esta categoría produce un mapa de convolución derivado, proporcionando un análogo geométrico a la composición de núcleos microlocales.
2. Deformación del Cono Nilo: Para la pila de móduli derivada de haces de Higgs proyectivos $\mathcal{P}\text{Higgs}_G(C)$, el cono nilpotente derivado proyectivizado $\mathbb{P}N$ es un objeto en $\mathcal{F}_c(\mathcal{P}\text{Higgs}_G(C))$. La composición categórica equipa el pullback homotópico $\mathbb{P}N \times^h_{\mathcal{P}\text{Higgs}_G(C)} \mathbb{P}N$ con una estructura de álgebra $A_\infty$, controlando la teoría de deformación no conmutativa del cono nilpotente.
3. Teorías de Campo Topológicas: La functorialidad de la construcción vincula los cobordismos topológicos con la estructura algebraica de las pilas de contacto, ofreciendo un marco para comprender la cirugía legendriana derivada.

Significado
El artículo afirma proporcionar la base categórica necesaria para estudiar problemas de móduli que surgen naturalmente en la geometría de contacto en lugar de la geometría simpléctica. Al formalizar el descenso de correspondencias lagrangianas desde simpléctificaciones, los autores habilitan la aplicación de herramientas categóricas superiores (abanicos, composición, cirugía) a espacios de móduli derivados "de dimensión impar". Esto cierra la brecha entre la geometría simpléctica derivada y las restricciones geométricas específicas encontradas en problemas que involucran sistemas locales $\ell$-ádicos y haces de Higgs, permitiendo la definición de álgebras de deformación no conmutativa y estructuras de convolución en estos contextos.